(1)

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx & =\sqrt{\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\right)^{2}}\\ & =\sqrt{\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy}\\ & =\sqrt{\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dxdy}\\ & =\sqrt{\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-r^{2}}rd\theta dr}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\infty}re^{-r^{2}}dr}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{4}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}d\left(r^{2}\right)}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{4}\left[e^{-r^{2}}\right]_{r^{2}\rightarrow0}^{r^{2}\rightarrow\infty}}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{4}}\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align*}

(2)

(1)より、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx & =\int_{-\infty}^{0}e^{-x^{2}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\\ & =\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\\ & =2\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\\ & =\sqrt{\pi} \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(3)

\(-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\alpha\right)<\frac{\pi}{2}\)のとき
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha R^{2}}e^{-y}\frac{y^{\frac{1}{2}-1}}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}dt\cmt{t=\alpha x^{2}}\\ & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\alpha\right|R^{2}e^{i\Arg\left(\alpha\right)}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。
途中で\(0<\Re\left(\alpha\right)\land-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\)のとき、
\[ \int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right) \] が成り立つことを使った。
\(\Arg\left(\alpha\right)=\pm\frac{\pi}{2}\)のとき、途中までは同じで、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\pm i\frac{\pi}{2}}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\pm iR}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{2\alpha^{\frac{1}{2}}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。
途中で\(0<\Re\left(\alpha\right)<1\land\theta=\pm\frac{\pi}{2}\)のとき、
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right) \] が成り立つことを使った。
これより、\(-\frac{\pi}{2}<\Arg\left(\alpha\right)<\frac{\pi}{2}\lor\Arg\left(\alpha\right)=\pm\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow-\frac{\pi}{2}\leq\Arg\left(\alpha\right)\leq\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \] が成り立つので題意は成り立つ。

-

\(\lnot\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\right)\)\(\Leftrightarrow\Re\left(\alpha\right)<0\lor\alpha=0\)となる。
\(\alpha=0\)のときは、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =\int_{0}^{\infty}e^{-0x^{2}}dx\\ & =\int_{0}^{\infty}dx\\ & =\infty \end{align*} となるので無限に発散する。
\(\Re\left(\alpha\right)<0\)のとき、被積分関数は、
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty}\left|e^{-\alpha x^{2}}\right| & =\lim_{x\rightarrow\infty}\left|e^{-\Re\left(\alpha\right)x^{2}}e^{-i\Im\left(\alpha\right)x^{2}}\right|\\ & =\lim_{x\rightarrow\infty}e^{-\Re\left(\alpha\right)x^{2}}\\ & =\infty \end{align*} となるので\(\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx\)は無限に発散する。
故に\(\lnot\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\right)\)のときは積分は無限に発散する。

(3)-2

\(0<\alpha\)のとき、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\\ & =\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*}

\(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\Im\left(\alpha\right)<0\)

このとき、\(-\frac{\pi}{2}\leq\Arg\left(\alpha\right)<0\)となる。
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}}e^{-\alpha t^{2}e^{-2\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}}e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}dt\cmt{x=te^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}}\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}}e^{-\alpha t^{2}e^{-\Arg\left(\alpha\right)i}}dt\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}}e^{-\left|\alpha\right|t^{2}}dt\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}\int_{C-C_{1}-C_{2}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}\left(\int_{C}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz+\int_{-C_{1}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz+\int_{-C_{2}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz\right) \end{align*} ここで積分経路は、\(C_{1}\)は実軸上\(r\)を\(r:0\rightarrow R\)として、\(C_{2}\)は半径\(R\)を一定とし\(Re^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\)とし、\(C_{3}\)は\(\mathit{\theta=\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}}\)上で\(re^{i\theta}\)の半径を\(r:R\rightarrow0\)である。
このとき\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)とすると、\(C\)は\(0\rightarrow R\rightarrow Re^{-i\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}}\)\(\rightarrow0\)を通る周回経路となる。
また\(R\rightarrow\infty\)とする。
右辺第1項の周回積分は特異点がないので、
\[ \int_{C}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz=0 \] となる。
また、右辺第2項は、
\begin{align*} \int_{-C_{1}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz & =-\int_{\infty}^{0}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}}dR\\ & =\int_{0}^{\infty}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}}dR\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\left|\alpha\right|}} \end{align*} となる。
右辺第3項は、\(0<-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\leq\frac{\pi}{4}\)であり、\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)では\(\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta\)なので、
\begin{align*} \left|\int_{-C_{2}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz\right| & =\left|-\int_{C_{2}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|-\int_{0}^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\left|\int_{0}^{\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}\left(\cos\left(2\theta\right)+i\sin\left(2\theta\right)\right)}e^{i\theta}d\theta\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}\left|e^{-\left|\alpha\right|R^{2}\left(\cos\left(2\theta\right)+i\sin\left(2\theta\right)\right)}e^{i\theta}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}\cos\left(2\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-\left|\alpha\right|R^{2}}\int_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}e^{\frac{\left|\alpha\right|R^{2}\pi}{4}\theta}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-\left|\alpha\right|R^{2}}\left[\frac{4}{\left|\alpha\right|R^{2}\pi}e^{\frac{\left|\alpha\right|R^{2}\pi}{4}\theta}\right]_{0}^{\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{4}{\left|\alpha\right|R\pi}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}}\left|e^{\frac{\left|\alpha\right|R^{2}\pi}{4}\left|\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}\right|}-1\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{4}{\left|\alpha\right|R\pi}e^{-\left|\alpha\right|R^{2}}\left|e^{-\frac{\left|\alpha\right|R^{2}\pi\left|\Arg\left(\alpha\right)\right|}{8}}-1\right|\\ & =0 \end{align*} となる。
これらより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}\left(\int_{C}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz+\int_{-C_{1}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz+\int_{-C_{2}}e^{-\left|\alpha\right|z^{2}}dz\right)\\ & =e^{-\frac{\Arg\left(\alpha\right)}{2}i}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\left|\alpha\right|}}\\ & =\left(e^{\Arg\left(\alpha\right)i}\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\left|\alpha\right|}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\left|\alpha\right|e^{\Arg\left(\alpha\right)i}}}\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。

\(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land0<\Im\left(\alpha\right)\)

同様にすれば、
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \] となる。

-

これらより、
\[ \int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \] が成り立つのは、
\begin{align*} & 0<\alpha\lor\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\Im\left(\alpha\right)<0\right)\lor\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land0<\Im\left(\alpha\right)\right)\\ \Leftrightarrow & 0<\alpha\lor\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\left(\Im\left(\alpha\right)<0\lor0<\Im\left(\alpha\right)\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\Im\left(\alpha\right)=0\right)\lor\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\left(\Im\left(\alpha\right)<0\lor0<\Im\left(\alpha\right)\right)\right)\\ \Leftrightarrow & 0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\land\left(\Im\left(\alpha\right)<0\lor0<\Im\left(\alpha\right)\lor\Im\left(\alpha\right)=0\right)\\ \Leftrightarrow & 0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0 \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(4)

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =\int_{-\infty}^{0}e^{-\alpha x^{2}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx\\ & =\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx\\ & =2\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx \end{align*} となる。
(3)を使うと、\(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\)のとき、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =2\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。
また\(\lnot\left(0\leq\Re\left(\alpha\right)\land\alpha\ne0\right)\)のときは、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx & =2\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx\\ & =\infty \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(5)

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R-\beta}^{R-\beta}e^{-\alpha t^{2}}dt\cmt{x-\beta\rightarrow t}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R-\Re\left(\beta\right)-i\Im\left(\beta\right)}^{R-\Re\left(\beta\right)-i\Im\left(\beta\right)}e^{-\alpha t^{2}}dt\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-R-i\Im\left(\beta\right)}^{R-i\Im\left(\beta\right)}e^{-\alpha t^{2}}dt\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{C-C_{1}-C_{2}-C_{4}}e^{-\alpha z^{2}}dz\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C}e^{-\alpha z^{2}}dz+\int_{-C_{1}}e^{-\alpha z^{2}}dz+\int_{-C_{2}}e^{-\alpha z^{2}}dz+\int_{-C_{4}}e^{-\alpha z^{2}}dz\right) \end{align*} ここで積分経路は\(0<R\)とすると、\(C_{1}\)は実軸上\(x\)で\(x:R\rightarrow-R\)として、\(C_{2}\)は\(y\)軸と平行に\(-R+iy\)で\(y:0\rightarrow-\Im\left(\beta\right)\)として、\(C_{3}\)は\(x\)軸と平行に\(x-i\Im\left(\beta\right)\)で\(x:-R\rightarrow R\)として、\(C_{4}\)は\(y\)軸と平行に\(R+iy\)で\(y:-\Im\left(\beta\right)\rightarrow0\)である。
また\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}\)とすると\(C\)は\(R\rightarrow-R\rightarrow-R-i\Im\left(\beta\right)\rightarrow-R+i\Im\left(\beta\right)\rightarrow R\)を通り1週する。
右辺第1項の周回積分は特異点がないので、
\[ \int_{C}e^{-\alpha x^{2}}dx=0 \] となる。
右辺第2項は
\begin{align*} \int_{-C_{1}}e^{-\alpha x^{2}}dx & =-\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{R}^{-R}e^{-\alpha x^{2}}dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。
右辺第3項は
\begin{align*} \lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{-C_{2}}e^{-\alpha x^{2}}dx\right| & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{0}^{-\Im\left(\beta\right)}\exp\left(-\alpha\left(-R+iy\right)^{2}\right)idy\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{0}^{-\Im\left(\beta\right)}\exp\left(-\alpha\left(-R+iy\right)^{2}\right)dy\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|-\Im\left(\beta\right)\right|}\left|\exp\left(-\alpha\left(-R+iy\right)^{2}\right)\right|dy\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\Im\left(\beta\right)\right|}\left|\exp\left(-\left(\Re\left(\alpha\right)+i\Im\left(\alpha\right)\right)\left(R^{2}-y^{2}-2iRy\right)\right)\right|dy\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\Im\left(\beta\right)\right|}\left|\exp\left(-\Re\left(\alpha\right)\left(R^{2}-y^{2}\right)-2\Im\left(\alpha\right)Ry+2i\Re\left(\alpha\right)Ry-i\Im\left(\alpha\right)\left(R^{2}-y^{2}\right)\right)\right|dy\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\Im\left(\beta\right)\right|}\exp\left(-\Re\left(\alpha\right)\left(R^{2}-y^{2}\right)-2\Im\left(\alpha\right)Ry\right)dy\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|\Im\left(\beta\right)\right|}\exp\left(\Re\left(\alpha\right)\left(y-\frac{\Im\left(\alpha\right)R}{\Re\left(\alpha\right)}\right)^{2}-\frac{\Im\left(\alpha\right)^{2}R^{2}}{\Re\left(\alpha\right)}-\Re\left(\alpha\right)R^{2}\right)dy\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\exp\left(-\left(\frac{\Im\left(\alpha\right)^{2}}{\Re\left(\alpha\right)}+\Re\left(\alpha\right)\right)R^{2}\right)\int_{0}^{\left|\Im\left(\beta\right)\right|}\exp\left(\Re\left(\alpha\right)\left(y-\frac{\Im\left(\alpha\right)R}{\Re\left(\alpha\right)}\right)^{2}\right)dy\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}\exp\left(-\left(\frac{\Im\left(\alpha\right)^{2}}{\Re\left(\alpha\right)}+\Re\left(\alpha\right)\right)R^{2}\right)\int_{0}^{\left|\Im\left(\beta\right)\right|}\exp\left(\Re\left(\alpha\right)\max\left\{ \left(0-\frac{\Im\left(\alpha\right)R}{\Re\left(\alpha\right)}\right)^{2},\left(\left|\Im\left(\beta\right)\right|-\frac{\Im\left(\alpha\right)R}{\Re\left(\alpha\right)}\right)^{2}\right\} \right)dy\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\exp\left(-\left(\frac{\Im\left(\alpha\right)^{2}}{\Re\left(\alpha\right)}+\Re\left(\alpha\right)\right)R^{2}\right)\left|\Im\left(\beta\right)\right|\exp\left(\Re\left(\alpha\right)\max\left\{ \left(0-\frac{\Im\left(\alpha\right)R}{\Re\left(\alpha\right)}\right)^{2},\left(\left|\Im\left(\beta\right)\right|-\frac{\Im\left(\alpha\right)R}{\Re\left(\alpha\right)}\right)^{2}\right\} \right)\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}e^{-\Re\left(\alpha\right)R^{2}}\left|\Im\left(\beta\right)\right|\\ & =0 \end{align*} より、
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-C_{2}}e^{-\alpha x^{2}}dx=0 \] 同様に右辺第4項も
\[ \lim_{R\rightarrow\infty}\int_{-C_{4}}e^{-\alpha x^{2}}dx=0 \] これらより、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left(\int_{C}e^{-\alpha x^{2}}dx+\int_{-C_{1}}e^{-\alpha x^{2}}dx+\int_{-C_{2}}e^{-\alpha x^{2}}dx+\int_{-C_{4}}e^{-\alpha x^{2}}dx\right)\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。
(5)-2
\[ I\left(\alpha,\beta\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx \] とおく。
\(I\left(\alpha,\beta\right)\)を\(\beta\)で偏微分すると、
\begin{align*} \frac{\partial I\left(\alpha,\beta\right)}{\partial\beta} & =\frac{\partial}{\partial\beta}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}2\alpha\left(x-\beta\right)e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx\\ & =-\left[e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}\right]_{-\infty}^{\infty}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(I\left(\alpha,\beta\right)=I\left(\alpha\right)\)となる。
次に\(I\left(\alpha\right)\)を\(\alpha\)で微分すると、
\begin{align*} \frac{dI\left(\alpha\right)}{d\alpha} & =\frac{\partial}{\partial\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx\\ & =-\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\beta\right)^{2}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx\\ & =\frac{1}{2\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}\left(x-\beta\right)\left\{ -2\alpha\left(x-\beta\right)e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}\right\} dx\\ & =\frac{1}{2\alpha}\left(\left[\left(x-\beta\right)e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}\right]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx\right)\\ & =-\frac{1}{2\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx\\ & =-\frac{1}{2\alpha}I\left(\alpha\right) \end{align*} となるので、この微分方程式は、
\[ \frac{dI\left(\alpha\right)}{I\left(\alpha\right)}=-\frac{d\alpha}{2\alpha} \] と変数分離形になるので、これを解くと、
\[ \Log I\left(\alpha\right)=-\frac{1}{2}\Log\alpha+C \] より、
\begin{align*} I\left(\alpha\right) & =Ae^{-\frac{1}{2}\Log\alpha}\cmt{A=e^{c}}\\ & =\frac{A}{\sqrt{\alpha}} \end{align*} となる。
また\(\alpha\rightarrow\left|\alpha\right|\)とすると、通常のガウス積分より、
\begin{align*} \sqrt{\frac{\pi}{\left|\alpha\right|}} & =I\left(\left|\alpha\right|\right)\\ & =\frac{A}{\sqrt{\left|\alpha\right|}} \end{align*} となり、これより\(A\)が求まり、
\[ A=\sqrt{\pi} \] となる。
従って、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha\left(x-\beta\right)^{2}}dx & =I\left(\alpha\right)\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\alpha}}\\ & =\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \end{align*} となる。