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\(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\)の条件は必要である。
何故なら\(a=\beta=-1,\gamma=\frac{1}{2}\)とすると\(0\leq\left(\left(-1\right)\left(-1\right)\right)^{\frac{1}{2}}=1\)であるが、\(1=\left(\left(-1\right)\left(-1\right)\right)^{\frac{1}{2}}\ne\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(-1\right)^{\frac{1}{2}}=i\cdot i=-1\)となるからである。

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2つの複素数の積の場合は成り立つが3つの複素数の積、
\[ 0\leq\left(a\beta\gamma\right)^{\delta}\rightarrow\left(\alpha\beta\gamma\right)^{\delta}=\alpha^{\delta}\beta^{\delta}\gamma^{\delta} \] は一般的に成り立たない。
反例を示す。
\(\alpha=\beta=\gamma=e^{i\frac{2\pi}{3}}\)とすると、\(a\beta\gamma=\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^{3}=e^{2\pi i}=1\)であるので、\(0\leq1=\left(a\beta\gamma\right)^{\delta}\)が成り立つ。
しかし、\(\delta=\frac{1}{2}\)ととると、
\begin{align*} \alpha^{\delta}\beta^{\delta}\gamma^{\delta} & =\alpha^{3\delta}\\ & =\alpha^{\frac{3}{2}}\\ & =\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\\ & =\exp\left(\frac{3}{2}\Log\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)\right)\\ & =\exp\left\{ \frac{3}{2}\left(\ln\left|e^{i\frac{2\pi}{3}}\right|+i\Arg\left(e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)\right)\right\} \\ & =\exp\left\{ \frac{3}{2}i\frac{2\pi}{3}\right\} \\ & =\exp\left\{ i\pi\right\} \\ & =-1 \end{align*} となり、\(1=\left(\alpha\beta\gamma\right)^{\delta}\ne\alpha^{\delta}\beta^{\delta}\gamma^{\delta}=-1\)となるので与式は成り立たない。
従って与式は一般的に成り立たない。

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\(0\leq x<\infty\)として\(t=-3ix^{2}\)とおくと、\(x=\left(x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{t}{-3i}\right)^{\frac{1}{2}}\)となり、\(x^{2}\)は非負実数で\(-3i\ne-1\)なので\(x=\left(\frac{t}{-3i}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\left(-3i\right)^{\frac{1}{2}}}\)とできる。
これより、ガウス積分は
\begin{align*} f_{0}^{\infty}e^{3ix^{2}}dx & =\frac{1}{\left(-3i\right)^{\frac{1}{2}}2}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{-3iR^{2}}e^{-t}t^{\frac{1}{2}-1}dt\cmt{t=-3ix^{2}}\\ & =\frac{1}{\left(-3i\right)^{\frac{1}{2}}2}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{3R^{2}e^{i\Arg\left(-i\right)}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{\left(-3i\right)^{\frac{1}{2}}2}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-\frac{\pi}{2}i}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1}{\left(-3i\right)^{\frac{1}{2}}2}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{R}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\cmt{0<\frac{1}{2}<1\land\Arg\left(e^{-\frac{\pi}{2}i}\right)=-\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{1}{\left(-3i\right)^{\frac{1}{2}}2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\left(1-i\right)2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}\left(1+i\right)}{4\sqrt{3}}\sqrt{\pi}\\ & =\frac{\sqrt{6\pi}\left(1+i\right)}{12} \end{align*} となる。