逆3角関数の積の方程式
逆3角関数の積の方程式
次の方程式を満たす実数\(x\)を求めよ。
\[ \Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi^{2}}{18} \]
次の方程式を満たす実数\(x\)を求めよ。
\[ \Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi^{2}}{18} \]
逆正弦と逆余弦の関係
\[ \Sin^{\bullet}x+\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi}{2} \] が成り立つので、
\begin{align*} 0 & =\Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x-\frac{\pi^{2}}{18}\\ & =\Sin^{\bullet}x\left(\frac{\pi}{2}-\Sin^{\bullet}x\right)-\frac{\pi^{2}}{18}\\ & =-\Sin^{\bullet,2}x+\frac{\pi}{2}\Sin^{\bullet}x-\frac{\pi^{2}}{18}\\ & =-\left(\Sin^{\bullet}x-\frac{\pi}{3}\right)\left(\Sin^{\bullet}x-\frac{\pi}{6}\right) \end{align*} となる。
従って、\(\Sin^{\bullet}x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\)となり、\(x=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\)となる。
\[ \Sin^{\bullet}x+\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi}{2} \] が成り立つので、
\begin{align*} 0 & =\Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x-\frac{\pi^{2}}{18}\\ & =\Sin^{\bullet}x\left(\frac{\pi}{2}-\Sin^{\bullet}x\right)-\frac{\pi^{2}}{18}\\ & =-\Sin^{\bullet,2}x+\frac{\pi}{2}\Sin^{\bullet}x-\frac{\pi^{2}}{18}\\ & =-\left(\Sin^{\bullet}x-\frac{\pi}{3}\right)\left(\Sin^{\bullet}x-\frac{\pi}{6}\right) \end{align*} となる。
従って、\(\Sin^{\bullet}x=\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}\)となり、\(x=\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\)となる。
ページ情報
| タイトル | 逆3角関数の積の方程式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/oz1nvv3g/ |
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気付けば一瞬で解ける問題
\[
x+\sqrt{x}=3\;,\;x+\frac{3}{\sqrt{x}}=?
\]
余弦と正弦の2乗が肩にある方程式
\[
2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}=3\;,\;x=?
\]
5次方程式ですが簡単に解けます
\[
z^{6}=\left(z-1\right)^{6}
\]
12を分解して因数分解できるかな
\[
z^{3}+z^{2}=12
\]