(0)

\[ \begin{cases} c_{1}=i\\ c_{n+1}=i\sqrt{c_{n}} \end{cases} \] として\(\sqrt{c_{\infty}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\sqrt{c_{k}}\)を求めればいい
\begin{align*} c_{n+1} & =i\sqrt{c_{n}}\\ & =i\sqrt{\left|c_{n}\right|}\left(e^{i\Arg\left(c_{n}\right)}\right)^{\frac{1}{2}}\\ & =e^{\frac{\pi}{2}i}\sqrt{\left|c_{n}\right|}\left(e^{\frac{1}{2}i\Arg\left(c_{n}\right)}\right)\\ & =\sqrt{\left|c_{n}\right|}\left(e^{i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\Arg\left(c_{n}\right)\right)}\right) \end{align*} これより、
\[ \begin{cases} \left|c_{n+1}\right|=\sqrt{\left|c_{n}\right|}\\ \Arg\left(c_{n+1}\right)=\mod\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\Arg\left(c_{n}\right),-2\pi,\pi\right) \end{cases} \] となる。
\(\left|c_{1}\right|=1,\Arg\left(c_{1}\right)=\frac{\pi}{2}\)なので、\(c_{n+1}\)の絶対値については、
\begin{align*} \left|c_{n+1}\right| & =\left|c_{n}\right|^{\frac{1}{2}}\\ & =\left|c_{1}\right|^{\frac{n}{2}}\\ & =1^{\frac{n}{2}}\\ & =1 \end{align*} となり、偏角については剰余を考えずにすると、
\begin{align*} \Arg\left(c_{n+1}\right) & =\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\Arg\left(c_{n}\right)\\ & =\frac{2^{1}\Arg\left(c_{1}\right)}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n}\left\{ 2^{k+1}\Arg\left(c_{k+1}\right)-2^{k}\Arg\left(c_{k}\right)\right\} \\ & =\frac{\pi}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n}2^{k+1}\frac{\pi}{2}\\ & =\frac{\pi}{2^{n+1}}+\frac{\pi}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n}2^{k}\\ & =\frac{\pi}{2^{n+1}}+\frac{\pi}{2^{n+1}}\cdot2\cdot\frac{2^{n}-1}{2-1}\\ & =-\frac{\pi}{2^{n+1}}+\pi\\ & =\pi\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right) \end{align*} となり、任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(-\pi<\Arg\left(c_{n}\right)\leq\pi\)となっているので、これが偏角になっている。
これより、
\begin{align*} \sqrt{c_{\infty}} & =\lim_{k\rightarrow\infty}\sqrt{c_{k}}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}\left|c_{k}\right|^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{1}{2}\Arg\left(c_{k}\right)}\\ & =\lim_{k\rightarrow\infty}1^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{1}{2}\left(\pi\left(1-\frac{1}{2^{k}}\right)\right)}\\ & =e^{i\frac{\pi}{2}}\\ & =i \end{align*} となる。

(0)-2

値が収束するという仮定で求める。
\(z=\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}\)とおくと、\(z=\sqrt{iz}\)となるので、\(z^{2}=iz\)となる。
これより、\(z^{2}-iz=0\)なので\(z\left(z-i\right)=0\)となり、\(z=0,i\)となるが\(z=0\)は不適なので\(z=i\)となる。