aのa乗にして解く問題

\(x\)が負の実数と仮定すると左辺はマイナスで右辺はプラスで矛盾するので\(x\)は負の実数ではない。
また、\(x=0\)は解ではないので\(0<x\)となる。
\(x\ne0\)なので、与式の両辺を\(x\)で割って
\[ 27^{x}=\frac{1}{x} \] 両辺\(\frac{1}{x}\)乗すると、\(x\)は正の実数なので、\(\left(27^{x}\right)^{\frac{1}{x}}=27\)となり、
\[ 27=\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}} \] となる。
また\(27=3^{3}\)なので、
\[ 3^{3}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}} \] となるので、\(y=\frac{1}{x}\)とおくと、\(0<y\)となり、
\[ 3^{3}=y^{y} \] となる。
ここで\(f\left(y\right)=y^{y}\)とおくと、
\begin{align*} f'\left(y\right) & =y\cdot y^{y-1}+y^{y}\log y\\ & =y^{y}\left(1+\log y\right) \end{align*} となるので増減表は
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline y & 0 & \cdots & e^{-1} & \cdots & \infty\\ \hline f'\left(y\right) & - & - & 0 & + & +\\ \hline f\left(y\right) & 1 & \searrow & e^{-\frac{1}{e}} & \nearrow & \infty \\\hline \end{array} \] となるので、\(y^{y}=3^{3}>1\)となる\(y\)は1つのみとなり\(y=3\)となる。
従って\(x=\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)となる。