根号の中に根号がある整数問題

$m=\sqrt{n+\sqrt{n+7}}$とおくと、
$$\begin{array}{rl}m=\sqrt{n+\sqrt{n+7}}& \Rightarrow m^2=n+\sqrt{n+7}\\ & \iff m^2-n=\sqrt{n+7}\\ & \Rightarrow m^4-2m^{2}n+n^2=n+7\\ & \iff n^2-(2m^2+1)n+m^4-7=0\end{array}$$ となり、$n$について解くと、
$$\begin{array}{rl}n& =\frac{2m^2+1\pm \sqrt{{(2m^2+1)}^2-4(m^4-7)}}{2}\\ & =\frac{2m^2+1\pm \sqrt{4m^2+29}}{2}\end{array}$$ となる。
$n$が整数となるためにはルートの中が平方数にならなければいけないので、
$${\left(2m\right)}^2<4m^2+29<{(2m+4)}^2$$ となる。
従って、
$$4m^2+29\in \{{(2m+1)}^2,{(2m+2)}^2,{(2m+3)}^2\}$$ となる。

$4m^2+29={(2m+1)}^2$のとき、

$$\begin{array}{rl}4m^2+29={(2m+1)}^2& \iff 4m^2+29=4m^2+4m+1\\ & \iff 4m=28\\ & \iff m=7\end{array}$$ となるので、
$$\begin{array}{rl}n& =\frac{2m^2+1\pm \sqrt{4m^2+29}}{2}\\ & =\frac{98+1\pm \sqrt{196+29}}{2}\\ & =\frac{99\pm \sqrt{225}}{2}\\ & =\frac{99\pm 15}{2}\\ & =57,42\end{array}$$ $n=57$とすると、$m=\sqrt{57+\sqrt{57+7}}=\sqrt{57+8}=\sqrt{65}\notin \mathbb{N}$となるので不適。
$n=42$とすると、$m=\sqrt{42+\sqrt{42+7}}=\sqrt{42+7}=7\in \mathbb{N}$となるので適。

$4m^2+29={(2m+2)}^2$のとき、

$$\begin{array}{rl}4m^2+29={(2m+2)}^2& \iff 4m^2+29=4m^2+8m+4\\ & \iff 8m=25\\ & \iff m=\frac{25}{8}\end{array}$$ となり$m$は自然数でないので不適。

$4m^2+29={(2m+3)}^2$のとき、

$$\begin{array}{rl}4m^2+29={(2m+3)}^2& \iff 4m^2+29=4m^2+12m+9\\ & \iff 12m=20\\ & \iff m=\frac{5}{3}\end{array}$$ となり$m$は自然数でないので不適。

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これらより、$n=42$ときのみとなる。