分母に1次式がある方程式の厳密解

与式より、\(bx\ne c\)となり、\(b\ne0\)なら\(x\ne\frac{c}{b}\)、\(b=0\)なら\(c\ne0\)で\(x=x\in\mathbb{R}\)、\(b=0\)で\(c=0\)なら\(x=x\in\emptyset\)となる。
このとき、
\[ a+cd=bdx \] となる。
これは\(bd\ne0\)のとき、
\[ x=\frac{a+cd}{bd} \] となり、\(bd=0\)のとき、\(a+cd=0\)なら\(x=x\in\mathbb{R}\)で成り立ち、\(a+cd\ne0\)なら\(x=x\in\emptyset\)となる。
これより、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d & \Leftrightarrow bx\ne c\land a+cd=bdx\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd\ne0 \end{cases} \end{align*} となる。
右辺第2項については、\(b\ne0\land d\ne0\)のときに、\(x=\frac{a+cd}{bd}\)が解になるには、右辺第1項\(x\ne\frac{c}{b}\)より、
\[ \frac{a+cd}{d}\ne c \] となるので、\(a\ne0\)となる。
また\(b\ne0\land d\ne0\)で\(a=0\)のときは解なしとなる。
これを考慮し、右辺第2項の場合分けを変形すると、
\begin{align*} & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd\ne0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\land a+cd=0\right)\lor\left(d=0\land a+cd=0\right)\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a+cd\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & d=0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b\ne0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c=0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c\ne0\land d=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となる。
これを計算すると、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land d=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land d=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \end{align*} となる。