(0)

与式より、\(x\ne c\)となり、
\[ \left(a-b\right)x=ac \] となる。
これは\(a\ne b\)のとき、
\[ x=\frac{ac}{a-b} \] となる。
\(a=b\)のとき、
\[ 0=ac \] となるので、\(a=0\lor c=0\)となり、\(x=x\in\mathbb{R}\)となる。
また、\(\lnot\left(a=0\lor c=0\right)\Leftrightarrow a\ne0\land c\ne0\)のとき\(x=x\in\emptyset\)となる。
これより、
\[ x\ne c\land\begin{cases} x=\frac{ac}{a-b} & a\ne b\\ x\in\mathbb{R} & a=b\land\left(a=0\lor c=0\right)\\ x\in\emptyset & a=b\land\left(a\ne0\land c\ne0\right) \end{cases} \] となるが、\(a\ne b\)のときは、
\[ \frac{ac}{a-b}\ne c \] なので、
\[ \frac{bc}{a-b}\ne0 \] より、\(bc\ne0\)となり、故に条件\(b\ne0\land c\ne0\)が必要になる。
また、\(\lnot\left(b\ne0\land c\ne0\right)\Leftrightarrow b=0\lor c=0\)のときは、\(x=c\)となるが、\(x\ne c\)なので不適となり、解なしとなる。
これより、
\begin{align*} & \begin{cases} x=\frac{ac}{a-b} & a\ne b\land\left(b\ne0\land c\ne0\right)\\ x\in\emptyset & a\ne b\land\left(b=0\lor c=0\right)\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ c\right\} & a=b\land\left(a=0\lor c=0\right)\\ x\in\emptyset & a=b\land\left(a\ne0\land c\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{ac}{a-b} & a\ne b\ne0\ne c\\ x\in\emptyset & a\ne b=0\lor\left(a\ne b\land c=0\right)\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ c\right\} & a=b\land\left(a=0\lor c=0\right)\\ x\in\emptyset & c\ne0\ne a=b \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{ac}{a-b} & a\ne b\ne0\ne c\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ c\right\} & a=b\land\left(a=0\lor c=0\right)\\ x\in\emptyset & a\ne b=0\lor\left(a\ne b\land c=0\right)\lor c\ne0\ne a=b \end{cases} \end{align*} となる。

(0)-2

与式より、\(x\ne c\)のとき、
\[ \left(a-b\right)x=ac \] となる。

\(a\ne b\)のとき

\[ x=\frac{ac}{a-b} \] となるが、これが解になるには\(x\ne c\)なので、
\[ \frac{ac}{a-b}\ne c \] これより、
\[ \frac{bc}{a-b}\ne0 \] となり、\(a\ne b\)なので、
\[ bc\ne0 \] 故に条件\(b\ne0\land c\ne0\)が必要になる。
また、\(\lnot\left(b\ne0\land c\ne0\right)\Leftrightarrow b=0\lor c=0\)のときは、\(x=c\)となるが、\(x\ne c\)なので不適。
これより、\(b=0\lor c=0\)のとき、解は存在しない。

\(a=b\)のとき

\[ ac=0 \] となるので、\(a=0\lor c=0\)であればいい。。
このとき\(x\)は\(x\ne c\)であればいい。
また、\(a\ne0\land c\ne0\)のとき、解は存在しない。

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まとめると、
\begin{align*} x & =\begin{cases} \frac{ac}{a-b} & a\ne b\land\left(b\ne0\land c\ne0\right)\\ \text{存在しない} & a\ne b\land\left(b=0\lor c=0\right)\\ c\text{を除く任意の実数} & a=b\land\left(a=0\lor c=0\right)\\ \text{存在しない} & a=b\land\left(a\ne0\land c\ne0\right) \end{cases}\\ & =\begin{cases} \frac{ac}{a-b} & a\ne b\ne0\land c\ne0\\ \text{存在しない} & a\ne b=0\lor\left(a\ne b\land c=0\right)\\ c\text{を除く任意の実数} & a=b=0\lor\left(a=b\land c=0\right)\\ \text{存在しない} & 0\ne a=b\land c\ne0 \end{cases}\\ & =\begin{cases} \frac{ac}{a-b} & a\ne b\ne0\land c\ne0\\ c\text{を除く任意の実数} & a=b=0\lor\left(a=b\land c=0\right)\\ \text{存在しない} & a\ne b=0\lor\left(a\ne b\land c=0\right)\lor\left(0\ne a=b\land c\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となる。