偶関数・奇関数の和・積
偶関数・奇関数の和・積
偶関数と奇関数の和と積は以下のようになる。
和
積
偶関数と奇関数の和と積は以下のようになる。
和
(1)
\[ \text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数} \](2)
\[ \text{偶関数}+\text{偶関数}=\text{偶関数} \](3)
奇関数と偶関数の和は一般的に偶関数でも奇関数でもない。積
(4)
\[ \text{奇関数}\times\text{奇関数}=\text{偶関数} \](5)
\[ \text{偶関数}\times\text{偶関数}=\text{偶関数} \](6)
\[ \text{奇関数}\times\text{偶関数}=\text{奇関数} \](1)
\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)を奇関数とすると、\begin{align*} f\left(-x\right)+g\left(-x\right) & =-f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ & =-\left\{ f\left(x\right)+g\left(x\right)\right\} \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)は奇関数となる。
(2)
\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)を偶関数とすると、\[ f\left(-x\right)+g\left(-x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) \] となるので、\(f\left(x\right)+g\left(x\right)\)は偶関数となる。
(3)
反例で示す。奇関数を\(x\)、偶関数を\(x^{2}\)とすると和は\(x+x^{2}\)となるがこれは奇関数でも偶関数でもない。
(4)
\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)を奇関数とすると、\begin{align*} f\left(-x\right)g\left(-x\right) & =\left\{ -f\left(x\right)\right\} \left\{ -g\left(x\right)\right\} \\ & =f\left(x\right)g\left(x\right) \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は偶関数となる。
(5)
\(f\left(x\right),g\left(x\right)\)を偶関数とすると、\[ f\left(-x\right)g\left(-x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right) \] となるので、\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は偶関数となる。
(6)
\(f\left(x\right)\)を奇関数、\(g\left(x\right)\)を偶関数とすると、\begin{align*} f\left(-x\right)g\left(-x\right) & =-f\left(x\right)g\left(-x\right) \end{align*} となるので、\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は奇関数となる。
同様に\(f\left(x\right)\)を偶関数、\(g\left(x\right)\)を奇関数とすると、\(f\left(x\right)g\left(x\right)\)は奇関数となる。
ページ情報
| タイトル | 偶関数・奇関数の和・積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ax8q0noq/ |
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関数の偶奇分解
\[
f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)
\]
偶関数・奇関数の導関数
偶関数の導関数は奇関数になる。
偶関数・奇関数の定義
\[
f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)
\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$