総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
総和・総乗・積分について以下の順序・区間の反転が成り立つ。
順序反転
区間反転
順序区間反転
総和・総乗・積分について以下の順序・区間の反転が成り立つ。
順序反転
(1)総和の順序反転
\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \](2)総乗の順序反転
\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \](3)積分の順序反転(キング・プロパティ)
\[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx \]区間反転
(4)総和の区間反転
\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \](5)総乗の区間反転
\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \](6)積分の区間反転
\[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=-\int_{b}^{a}f\left(a+b-x\right)dx \]順序区間反転
(7)総和の順序区間反転
\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right) \](8)総乗の順序区間反転
\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right) \](9)積分の順序区間反転
\[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{-b}^{-a}f\left(-x\right)dx \]順序反転により、
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}{2} \end{align*} とできる。
同様に
\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=a}^{b}\sqrt{f\left(k\right)f\left(a+b-k\right)} \] \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}{2}dx \] も成り立つ。
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}{2} \end{align*} とできる。
同様に
\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=a}^{b}\sqrt{f\left(k\right)f\left(a+b-k\right)} \] \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}{2}dx \] も成り立つ。
(1)
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =f\left(a\right)+f\left(a+1\right)+\cdots+f\left(b-1\right)+f\left(b\right)\\ & =f\left(b\right)+f\left(b-1\right)+\cdots+f\left(a+1\right)+f\left(a\right)\\ & =\sum_{k=0}^{b-a}f\left(b-k\right)\\ & =\sum_{k=a}^{b}f\left(b-\left(k-a\right)\right)\cmt{k\rightarrow k-a}\\ & =\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\prod_{k=a}^{b}\exp\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\left(\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(k\right)\right)\\ & =\exp\left(\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\prod_{k=a}^{b}\exp\left(\Log f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\prod_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \end{align*}
(3)
\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =-\int_{b-a}^{0}f\left(b-x\right)dx\cmt{x\rightarrow b-x}\\ & =\int_{0}^{b-a}f\left(b-x\right)dx\\ & =\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx \end{align*}(4)
\(k\rightarrow j+a+b\)とすれば\(k:a\rightarrow b\)のとき\(j:-b\rightarrow-a\)となるので、\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\sum_{j=-b}^{-a}f\left(j+a+b\right)\\ & =\sum_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \end{align*} となり与式は成り立つ。
(5)
(4)より、\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\prod_{k=a}^{b}\exp\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=-b}^{-a}\Log f\left(k+a+b\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}\exp\Log f\left(k+a+b\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \end{align*}
(6)
\(x=a+b-y\)とおけば\(x:a\rightarrow b\)のとき\(y:b\rightarrow a\)となるので、\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =-\int_{b}^{a}f\left(a+b-y\right)dy \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(7)
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =f\left(a\right)+f\left(a+1\right)+\cdots+f\left(b\right)\\ & =f\left(b\right)+f\left(b-1\right)+\cdots+f\left(b-\left(b-a\right)\right)\\ & =\sum_{k=0}^{b-a}f\left(b-k\right)\\ & =\sum_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right)\cmt{k\rightarrow k+b} \end{align*}(8)
(7)より、\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\prod_{k=a}^{b}\exp\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=-b}^{-a}\Log f\left(-k\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}\exp\Log f\left(-k\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right) \end{align*}
(9)
\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =-\int_{-a}^{-b}f\left(-x\right)dx\cmt{x\rightarrow-x}\\ & =\int_{-b}^{-a}f\left(-x\right)dx \end{align*}ページ情報
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ラマヌジャンの無限根
\[
1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}
\]
総和と総乗の逆順
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right)
\]