(1)

順序反転により、
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=a}^{b}f\left(k\right)& =\frac{1}{2}(\sum _{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum _{k=a}^{b}f\left(k\right))\\ & =\frac{1}{2}(\sum _{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum _{k=a}^{b}f(a+b-k))\\ & =\sum _{k=a}^b\frac{f\left(k\right)+f(a+b-k)}{2}\end{array}$$ とできる。
同様に
$$\prod _{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod _{k=a}^b\sqrt{f\left(k\right)f(a+b-k)}$$ $${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)+f(a+b-x)}{2}dx$$ も成り立つ。

(2)

$\frac{a+b}{2}$を軸として関数$f\left(x\right)$が$x=\frac{a+b}{2}$を軸として、偶関数$f_e\left(x\right)$と奇関数$f_o\left(x\right)$の和$f\left(x\right)=f_e\left(x\right)+f_o\left(x\right)$で表されるとする。
このとき、$x=\frac{a+b}{2}$を軸として、$f_e\left(x\right)$は偶関数なので、
$$f_e(\frac{a+b}{2}-x)=f_e(\frac{a+b}{2}+x)$$ となり、$x=\frac{a+b}{2}$を軸として、$f_o\left(x\right)$は奇関数なので、
$$f_o(\frac{a+b}{2}-x)=-f_o(\frac{a+b}{2}+x)$$ となる。
これより、積分の順序反転を使うと、
$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx& ={\int }_a^b\frac{f\left(x\right)+f(a+b-x)}{2}dx\\ & ={\int }_a^b\frac{f(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))+f(\frac{a+b}{2}+(\frac{a+b}{2}-x))}{2}dx\\ & ={\int }_a^b\frac{f_e(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))+f_o(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))+f_e(\frac{a+b}{2}+(\frac{a+b}{2}-x))+f_o(\frac{a+b}{2}+(\frac{a+b}{2}-x))}{2}dx\\ & ={\int }_a^b\frac{f_e(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))+f_o(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))+f_e(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))-f_o(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))}{2}dx\\ & ={\int }_a^b{f}_e(\frac{a+b}{2}-(\frac{a+b}{2}-x))dx\\ & ={\int }_a^b{f}_e\left(x\right)dx\end{array}$$ となり、積分区間の中心を軸として、偶関数のみが残る。