分母の形に気付くかな
分母の形に気付くかな
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=? \]
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!} & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}+\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(n-k\right)!}{\left(n-k\right)!+k!}\right)\\
& =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{k!+\left(n-k\right)!}{k!+\left(n-k\right)!}\\
& =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}1\\
& =\frac{n+1}{2}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母の形に気付くかな |
| URL | https://www.nomuramath.com/oixlywtk/ |
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分母に階乗の和を含む総和
\[
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{100}{98!+99!+100!}=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]
総乗の極限問題
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]