偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx\\
& =\left[\sin\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
& =1
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(-x\right)}{1+\alpha^{-x}}dx\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{\alpha^{x}f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx\right)\\
& =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)\left(1+\alpha^{x}\right)}{1+\alpha^{x}}dx\\
& =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}f_{e}\left(x\right)dx\\
& =\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h6ea3742/ |
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対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
微分と積分の関係
\[
f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a
\]
ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]