ワイエルシュトラスの定理(公理)

by nomura · 2024年3月22日

ワイエルシュトラスの定理(公理)
実数全体$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A\subseteq\mathbb{R}$が下に有界ならば下限が存在する。
同様に実数$\mathbb{R}$の空でない部分集合$A\subseteq\mathbb{R}$が上に有界ならば上限が存在する。

実数全体$\mathbb{R}$でない場合は成り立つとは限りません。
例えば全体集合を有理数全体$\mathbb{Q}$として$\left\{ q\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<q\right\} $の集合には下に有界であるが$\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$なので下限が存在しません。

実数全体の部分集合$\left[0,1\right]$は下に有界なので下限$\inf\left[0,1\right]=0$が存在する。
実数全体の部分集合$\left(0,1\right)$は下に有界なので下限$\inf\left(0,1\right)=0$が存在する。

下界全体の集合を$B$とする。
このとき、任意の$B$の元は任意の$B^{c}$の元より小さく、$\mathbb{R}=B\cup B^{c},B\ne\emptyset,B^{c}\ne\emptyset,\forall a\in B,\forall b\in B^{c},a<b$となるので、デテキント切断となる。
デテキント切断となるので、ある点$x$は$B$で最大の数か$B^{c}$の最小の数かのどちらかになる。
$x$が$B^{c}$の最小の数と仮定する。
そうすると、$x$は下界ではない点なので$x$より小さい$B^{c}$の点$y<x$が存在する。
そうすると、$x$は$B^{c}$の最小の数とした仮定に矛盾。
従って、点$x$は$B$で最大の数、すなわち下界全体の最大の数となり、点$x$は下限となる。
故に題意は成り立つ。

ページ情報

タイトル	ワイエルシュトラスの定理(公理)
URL	https://www.nomuramath.com/wckxjz2g/
SNSボタン

収束する数列の部分列は同じ値に収束する

無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。

項別積分と項別微分

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx \]

各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係

\[ \text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束} \]

チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係

\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n} \]