正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。
正接関数・双曲線正接関数は多重対数関数を使って以下のように表示できる。
(1)正接関数
\[ \tan^{\pm1}z=i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \](2)双曲線正接関数
\[ \tanh^{\pm1}z=1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \]-
\(\Li_{n}\left(z\right)\)は多重対数関数(1)
\begin{align*} \tan^{\pm1}z & =i^{\mp1}\frac{e^{iz}\mp e^{-iz}}{e^{iz}\pm e^{-iz}}\\ & =i^{\mp1}\frac{e^{2iz}\mp1}{e^{2iz}\pm1}\\ & =-i^{\mp1}\frac{1\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{-i\pi}e^{\mp\frac{\pi}{2}i}\frac{1\pm e^{2iz}\mp2e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\\ & =e^{\pm\frac{\pi}{2}i}\left(1+2\frac{\mp e^{2iz}}{1\pm e^{2iz}}\right)\\ & =i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{2iz}\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \tanh^{\pm1}z & =\left(i^{-1}\tan\left(iz\right)\right)^{\pm1}\\ & =i^{\mp1}\tan^{\pm1}\left(iz\right)\\ & =i^{\mp1}i^{\pm1}\left(1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right)\right)\\ & =1+2\Li_{0}\left(\mp e^{-2z}\right) \end{align*}ページ情報
タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の多重対数関数表示 |
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1と3角関数・双曲線関数
\[
1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}
\]
三角関数の還元(負角・余角・補角)公式
\[
\sin(-x)=-\sin x
\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の対数表示
\[
\Sin^{\bullet}z=-i\Log\left(iz+\sqrt{1-z^{2}}\right)
\]