リーマン・ゼータ関数を含む総和 by nomura · 2024年3月28日 Follow @nomuramath リーマン・ゼータ関数を含む総和 次が成り立つ。 ∑k=2∞ζ(k)−1k=1−γ - ζ(s)はリーマン・ゼータ関数 γはオイラー・マスケローニ定数総和と積分の順序変更積分と総和の順序変更∑k=2∞ζ(k)−1k=∑k=2∞ζ(k)Γ(k)−Γ(k)k!=∑k=2∞1k!(∫0∞xk−1ex−1dx−∫0∞xk−1e−xdx)=∑k=2∞1k!∫0∞xk−1(1ex−1−e−x)dx=∫0∞∑k=2∞1k!xk−1(1ex−1−e−x)dx(総和と積分の順序変更)=∫0∞1x∑k=2∞1k!xk(1ex−1−e−x)dx=∫0∞1x(∑k=0∞1k!xk−(1+x))(1ex−1−e−x)dx=∫0∞1x(ex−1−x)(1ex−1−e−x)dx=∫0∞1x(1−(ex−1)e−x−xex−1+xe−x)dx=∫0∞1x(−xex−1+(1+x)e−x)dx=∫0∞(−1ex−1+x−1e−x+e−x)dx=∫0∞(−1ex−1+x−1e−x+1−e−xex−1)dx=∫0∞(x−1e−x−e−xex−1)dx=∫0∞(x−1e−x−e−2x1−e−x)dx=[log(x)e−x]0∞+∫0∞(log(x)e−x−e−2x∑k=0∞e−kx)dx=−limx→0log(x)+[ddt∫0∞xte−xdx]t=0−∫0∞∑k=0∞e−(k+2)xdx=−limx→1log(1−x)+[ddtΓ(t+1)]t=0+∑k=0∞1k+2[e−(k+2)x]0∞(積分と総和の順序変更)=limx→1∑k=1∞xkk+[Γ(t+1)ddtlogΓ(t+1)]t=0−∑k=0∞1k+2=∑k=1∞1k+[Γ(t+1)ψ(t+1)]t=0−∑k=1∞1k+1=∑k=1∞1k+Γ(1)ψ(1)+H1−∑k=1∞1k=Γ(1)ψ(1)+H1=1−γ ページ情報タイトルリーマン・ゼータ関数を含む総和URLhttps://www.nomuramath.com/hmjw5b8u/SNSボタンTweet リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係ζ(s)=πs−12ssinsπ2Γ(1−s)ζ(1−s) リーマンゼータ関数の関数等式π−s2Γ(s2)ζ(s)=π−1−s2Γ(1−s2)ζ(1−s) ゼータ関数の絶対収束条件ゼータ関数ζ(s)はℜ(s)>1で絶対収束 (*)フルヴィッツの公式ζ(1−s,a)=Γ(s)(2π)s{e−iπs2Lis(e2πia)+eiπs2Lis(e−2πia)}
