実数全体の集合は完備距離空間

\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)をコーシー列とする。
このとき、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界数列となり、\(\left(\sup_{k\geq n}x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界な単調減少数列となる。
従ってこの数列\(\left(\sup_{k\geq n}x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}x_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}\)が存在する。
またコーシー列の定義より、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\left(N\leq m,n\right)\rightarrow\left|x_{m}-x_{n}\right|<\epsilon \] となり、\(\left|x_{m}-x_{n}\right|<\epsilon\Leftrightarrow-\epsilon<x_{m}-x_{n}<\epsilon\Leftrightarrow x_{n}-\epsilon<x_{m}<x_{n}+\epsilon\)となる。
ここで\(x_{n}-\epsilon<x_{m}\rightarrow x_{n}-\epsilon<\sup_{k\geq m}x_{k}\)であるので、\(m\rightarrow\infty\)とすると、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow x_{n}-\epsilon<\lim_{m\rightarrow\infty}\sup_{k\geq m}x_{k}\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow x_{n}-\epsilon<\limsup_{m\rightarrow\infty}x_{m} \end{align*} となる。
また、\(N\leq m,n\)であれば\(x_{m}<x_{n}+\epsilon\)となるので、\(\sup_{k\geq m}x_{k}<x_{n}+\epsilon\)が成り立つので\(m\rightarrow\infty\)とすると、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\lim_{m\rightarrow\infty}\sup_{k\geq m}x_{k}<x_{n}+\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\limsup_{m\rightarrow\infty}x_{m}<x_{n}+\epsilon \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow x_{n}-\epsilon<\limsup_{m\rightarrow\infty}x_{m}<x_{n}+\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left|\limsup_{m\rightarrow\infty}x_{m}-x_{n}\right|<\epsilon \end{align*} となるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\limsup_{m\rightarrow\infty}x_{m} \] となり、\(\limsup_{m\rightarrow\infty}x_{m}\)の値は存在するので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}\)の値も存在し完備距離空間となる。