距離空間での連続を開近傍を使って表現

連続であるので
\[ \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,d_{X}\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon \] となり、
\(\left(d_{X}\left(x,a\right)<\delta\leftrightarrow x\in U_{\delta}\left(a\right)\right)\land\left(d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\leftrightarrow f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right)\)なので、
\begin{align*} & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,d_{X}\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,x\in U_{\delta}\left(a\right)\rightarrow f\left(x\right)\in U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,x\in U_{\delta}\left(a\right)\rightarrow x\in f^{\bullet}U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \forall x\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\cmt{*}\\ \Leftrightarrow & \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \end{align*} となる。
これより、\(f\)が\(a\in X\)で連続であることと、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right) \] または、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,U_{\delta}\left(a\right)\subseteq f^{\bullet}\left(U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\right) \] であることは同値となる。
これらより題意は成り立つ。