カントールの区間縮小法

by nomura · 2024年4月7日

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カントールの区間縮小法
閉区間$I_n=[a_n,b_n],(n\in \mathbb{N})$が$I_n\supseteq I_{n+1}$を満たし、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=0$となるとき、$\bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n=\left\{\alpha \right\}$となる$\alpha$が存在する。
ここで$\alpha =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n$である。

$a_n$は有界で単調増加数列であるので$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha$となる$\alpha$が存在する。
同様に$b_n$は有界で単調減少数列であるので$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\beta$となる$\beta$が存在する。
$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=\beta -\alpha =0$なので$\alpha =\beta$となる。
任意の$n$に対し$a_n\le \alpha \le b_n$となるので$\alpha \in I_n$となり、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[a_n,b_n]=\alpha$となる。
これより、題意は成り立つ。

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タイトル	カントールの区間縮小法
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チェザロ総和とチェザロ平均の定義

$$m_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_n$$

実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義

$$(\mathrm{\exists }x\in A,\mathrm{\forall }a\in A,a\le x)\iff maxA=x$$

上限定理・下限定理

実数では上に有界ならば上限が存在する。

各点収束するが一様収束しない例