各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right) \] が成り立つとき、関数列\(f_{n}(x)\)は\(I\)において関数\(f(x)\)に各点収束するという。
論理記号では
\[ \forall x\in I,\;\forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;n\geq N\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] で表される。
論理記号では
\[ \forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall x\in I,\;n\geq N\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] で表される。
関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
(1)各点収束
任意の\(x\in I\)に対して、\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right) \] が成り立つとき、関数列\(f_{n}(x)\)は\(I\)において関数\(f(x)\)に各点収束するという。
論理記号では
\[ \forall x\in I,\;\forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;n\geq N\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] で表される。
(2)一様収束
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0 \] が成り立つとき、関数列\(f_{n}(x)\)は\(I\)において関数\(f(x)\)に一様収束するという。論理記号では
\[ \forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall x\in I,\;n\geq N\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] で表される。
(3)広義一様収束
任意の有界閉区間\(\left[a,b\right]\subseteq I\)上で一様収束するとき、関数列\(f_{n}(x)\)は\(I\)において関数\(f(x)\)に広義一様収束するという。各点収束では\(N=N\left(x,\epsilon\right)\)となるが、一様収束では\(N=N\left(\epsilon\right)\)となる。
-
次の関数は各点収束するが一様収束しない。\[ f_{n}\left(x\right)=\begin{cases} n & 0<x<\frac{1}{n}\\ 0 & x\leq0,\frac{1}{n}\leq x \end{cases} \]
各点収束
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =0 \end{align*} となるので各点収束する。一様収束
\(x=\frac{1}{2n}\)の点は、\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\\ & =\infty \end{align*} より、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right)-f\left(\frac{1}{2n}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|n-0\right|\\ & =\infty \end{align*} となるので一様収束しない。
-
\(f_{n}\left(x\right)=x^{n},f\left(x\right)=0\)とすると、関数列\(f_{n}(x)\)は\(\left(-1,1\right)\)において関数\(f(x)\)に広義一様収束するが一様収束しない。何故なら、\(-1<a<1,-1<b<1\)として\(a\leq b\)とすると、\(\left[a,b\right]\subseteq\left(-1,1\right)\)となり
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|x^{n}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\max\left(a^{n},b^{n}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\left[a,b\right]\)では一様収束する。
しかし、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|x^{n}\right|\\ & =1 \end{align*} となるので\(\left(-1,1\right)\)では一様収束しない。
従って\(\left(-1,1\right)\)では広義一様収束するが一様収束はしない。
ページ情報
| タイトル | 各点収束と一様収束と広義一様収束の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lnjhpdku/ |
| SNSボタン |
カントールの区間縮小法
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a
\]