(1)

各点収束

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right) & =f\left(x\right)\\ & =\begin{cases} 0 & \left(0\leq x<1\right)\\ 1 & \left(x=1\right) \end{cases} \end{align*} となるので各点収束する。

一様収束

\(x=1-\frac{1}{n}\)の点を考えると
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(1-\frac{1}{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n-1}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\\ & =\frac{1}{e} \end{align*} となるので
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & >\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right|\\ & =\frac{1}{e} \end{align*} となり一様収束しない。

(2)

各点収束

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx}\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-nx}\\ & =0 \end{align*} となるので各点収束する。

一様収束

\begin{align*} f_{n}'\left(x\right) & =\left(nxe^{-nx}\right)'\\ & =n\left(1-nx\right)e^{-nx} \end{align*} となり、増減表より\(x=\frac{1}{n}\)で最大になる。この値を使うと、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & >\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{e}-0\right|\\ & =\frac{1}{e} \end{align*} となり一様収束しない。