(1)

各点収束

各点収束する関数を\(f\)とすると、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1_{\left[n,n+1\right)}\left(x\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-O\left(x\right)\right|=0\)となり零関数\(O\)に各点収束する。

一様収束

\(x=n\)の点を考えると
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(n\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}1_{\left[n,n+1\right)}\left(n\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1 \end{align*} となるので
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,\infty\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(n\right)-O\left(n\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|1-0\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}1\\ & =1\\ & \ne0 \end{align*} となり各点収束となる零関数\(O\)に一様収束しない。
従って、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様収束しない。

(2)

各点収束

各点収束する関数を\(f\)とすると、
\begin{align*} f\left(x\right) & :=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =\begin{cases} 0 & \left(0\leq x<1\right)\\ 1 & \left(x=1\right) \end{cases} \end{align*} となり\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\)となるので、\(f\left(x\right)\)に各点収束する。

一様収束

\(x=1-\frac{1}{n}\)の点を考えると
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(1-\frac{1}{n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{-n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{-n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n-1}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\\ & =\frac{1}{e} \end{align*} となるので
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left[0,1\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right|\\ & =\frac{1}{e}\\ & \ne0 \end{align*} となり各点収束となる\(f\left(x\right)\)に一様収束しない。
従って、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様収束しない。

(3)

各点収束

各点収束する関数を\(f\)とすると、
\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}nxe^{-nx}\\ & =-\lim_{n\rightarrow\infty}e^{-nx}\\ & =0 \end{align*} となり\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-O\left(x\right)\right|=0\)となるので、零関数\(O\)に各点収束する。

一様収束

\begin{align*} f_{n}'\left(x\right) & =\left(nxe^{-nx}\right)'\\ & =n\left(1-nx\right)e^{-nx} \end{align*} となり、増減表より\(x=\frac{1}{n}\)で最大になる。この値を使うと、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in\left(0,\infty\right]}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & \geq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{e}-0\right|\\ & =\frac{1}{e}\\ & \ne0 \end{align*} となり各点収束となる零関数\(O\)に一様収束しない。
従って、関数列\(\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様収束しない。