(1)

\(n=1\)のとき

\begin{align*} \left[A^{1},B\right] & =\sum_{k=1}^{1}A^{1-k}\left[A,B\right]A^{k-1}\\ & =\left[A,B\right] \end{align*} となるので成り立っている。

\(n=m\)のとき成り立つと仮定

\(n=m\)のとき成り立つと仮定すると、\(n=m+1\)のときは、
\begin{align*} \left[A^{m+1},B\right] & =\left[AA^{m},B\right]\\ & =A\left[A^{m},B\right]+\left[A,B\right]A^{m}\\ & =A\sum_{k=1}^{m}A^{m-k}\left[A,B\right]A^{k-1}+A^{0}\left[A,B\right]A^{m}\\ & =\sum_{k=1}^{m}A^{m+1-k}\left[A,B\right]A^{k-1}+\left[A^{m+1-k}\left[A,B\right]A^{k-1}\right]_{k=m+1}\\ & =\sum_{k=1}^{m+1}A^{m+1-k}\left[A,B\right]A^{k-1} \end{align*} となるので\(n=m+1\)のときも成り立つ。

-

故に数学的帰納法より、任意の\(n\in\mathbb{N}\)について与式は成り立つ。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \left[A,B^{n}\right] & =-\left[B^{n},A\right]\\ & =-\sum_{k=1}^{n}B^{n-k}\left[B,A\right]B^{k-1}\\ & =\sum_{k=1}^{n}B^{n-k}\left[A,B\right]B^{k-1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

(1)(2)より、
\begin{align*} \left[A^{m},B^{n}\right] & =\sum_{k=1}^{m}A^{m-k}\left[A,B^{n}\right]A^{k-1}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A^{m-k}B^{n-j}\left[A,B\right]B^{j-1}A^{k-1} \end{align*} \begin{align*} \left[A^{m},B^{n}\right] & =\sum_{j=1}^{n}B^{n-j}\left[A^{m},B\right]B^{j-1}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}B^{n-j}A^{m-k}\left[A,B\right]A^{k-1}B^{j-1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(4)

\begin{align*} \left[A,\prod_{k=1}^{n}B_{k}\right] & =\left[A,\prod_{k=1}^{n-1}\left(B_{k}\right)B_{n}\right]\\ & =\prod_{k=1}^{n-1}\left(B_{k}\right)\left[A,B_{n}\right]+\left[A,\prod_{k=1}^{n-1}\left(B_{k}\right)\right]B_{n}\\ & =\prod_{k=1}^{n-1}\left(B_{k}\right)\left[A,B_{n}\right]+\LHS\left(n\rightarrow n-1\right)B_{n}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\LHS\left(n\rightarrow j\right)\prod_{l=j+1}^{0}B_{l}-\LHS\left(n\rightarrow j-1\right)\prod_{l=j}^{0}B_{l}\right)\prod_{l=1}^{n}B_{l}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\prod_{k=1}^{j-1}\left(B_{k}\right)\left[A,B_{j}\right]\prod_{l=j+1}^{0}B_{l}\right)\prod_{l=1}^{n}B_{l}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\prod_{k=1}^{j-1}\left(B_{k}\right)\left[A,B_{j}\right]\prod_{l=j+1}^{n}B_{l} \end{align*}

(5)

\begin{align*} \left[\prod_{k=1}^{n}A_{k},B\right] & =-\left[B,\prod_{k=1}^{n}A_{k}\right]\\ & =-\sum_{j=1}^{n}\prod_{k=1}^{j-1}\left(A_{k}\right)\left[B,A_{j}\right]\prod_{l=j+1}^{n}A_{l}\\ & \sum_{j=1}^{n}\prod_{k=1}^{j-1}\left(A_{k}\right)\left[A_{j},B\right]\prod_{l=j+1}^{n}A_{l} \end{align*}

(6)

(4)(5)より、
\begin{align*} \left[\prod_{j=1}^{m}A_{j},\prod_{k=1}^{n}B_{k}\right] & =\sum_{s=1}^{m}\prod_{j=1}^{s-1}\left(A_{j}\right)\left[A_{s},\prod_{k=1}^{n}B_{k}\right]\prod_{j=s+1}^{m}A_{j}\\ & =\sum_{s=1}^{m}\sum_{t=1}^{n}\prod_{j=1}^{s-1}\left(A_{j}\right)\prod_{k=1}^{t-1}\left(B_{k}\right)\left[A_{s},B_{t}\right]\prod_{k=t+1}^{n}\left(B_{k}\right)\prod_{j=s+1}^{n}\left(A_{j}\right) \end{align*} \begin{align*} \left[\prod_{j=1}^{m}A_{j},\prod_{k=1}^{n}B_{k}\right] & =\sum_{t=1}^{n}\prod_{j=1}^{t-1}\left(B_{j}\right)\left[\prod_{j=1}^{m}A_{j},B_{t}\right]\prod_{j=t+1}^{n}B_{j}\\ & =\sum_{t=1}^{n}\sum_{s=1}^{m}\prod_{k=1}^{t-1}\left(B_{k}\right)\prod_{j=1}^{s-1}\left(A_{j}\right)\left[A_{s},B_{t}\right]\prod_{j=s+1}^{n}\left(A_{j}\right)\prod_{k=t+1}^{n}\left(B_{k}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。