第1種スターリング数の符号
第1種スターリング数の符号
第1種スターリング数の符号は次のようになる。
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \]
第1種スターリング数の符号は次のようになる。
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \]
\begin{align*}
Q\left(x,n\right) & =\left(-1\right)^{n}P\left(-x,n\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(-x\right)^{k}\\
& =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\end{align*}
ここで、
\[ Q\left(x,n\right)=\prod_{j=0}^{n-1}\left(x+j\right) \] なので、\(Q\left(x,n\right)\)の\(x\)の係数は全て0以上となる。
これより、左辺と右辺の\(x\)の係数を比べると、\(\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)\)は0以上となるので、
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \] が成り立つ。
\[ Q\left(x,n\right)=\prod_{j=0}^{n-1}\left(x+j\right) \] なので、\(Q\left(x,n\right)\)の\(x\)の係数は全て0以上となる。
これより、左辺と右辺の\(x\)の係数を比べると、\(\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)\)は0以上となるので、
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \] が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 第1種スターリング数の符号 |
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第1種・第2種スターリング数の性質
\[
\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n!
\]
(*)スターリング数と2項係数
\[
C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k
\]
第2種スターリング数の一般解
\[
S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}
\]
スターリング数と上昇・下降階乗
\[
Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]