(0)

組み合わせ論的解釈
区別の出来る$n$個の玉を区別の出来ない$k$個の箱に分けるとき、空箱ありの場合の数は$k^n$で空箱なしの場合の数は$S_2(n,j)$となる。
区別の出来ないの箱のとき、空箱ありとなしとの場合の数の関係より、
$$k^n=\sum _{j=0}^{k}C(k,j)S_2(n,j)j!$$ となる。
これは2項変換なので逆変換は、
$$S_2(n,k)=\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{k-j}C(k,j)j^n$$ となり与式は成り立つ。

(0)-2

$n=0$のとき
$$\begin{array}{rl}{S}_2(0,k)& =\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{k-j}C(k,j)j^0\\ & =\frac{{(-1)}^k}{k!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{j}C(k,j)\\ & =\frac{{(-1)}^k}{k!}{\delta }_{0,k}\\ & ={\delta }_{0,k}\end{array}$$ となるので$k$の値に依らずに成り立つ。
$n=m$のとき成り立つと仮定する。
$$\begin{array}{rl}{S}_2(m+1,k)& =S_2(m,k-1)+k{S}_2(m,k)\\ & =\frac{1}{(k-1)!}\sum _{j=0}^{k-1}{(-1)}^{k-1-j}C(k-1,j)j^m+k\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{k-j}C(k,j)j^m\\ & =\frac{1}{(k-1)!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{k-j}\{C(k,j)-C(k-1,j)\}{j}^m\\ & =\frac{1}{(k-1)!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{k-j}C(k-1,j-1)j^m\\ & =\frac{1}{k!}\sum _{j=0}^k{(-1)}^{k-j}C(k,j)j^{m+1}\end{array}$$ これより$n=m+1$で成り立つ。
従って数学的帰納法より与式は成り立つ。