(*)スターリング数と2項係数
スターリング数と2項係数
スターリング数について以下が成り立つ。
スターリング数について以下が成り立つ。
(1)
\[ C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k \](2)
\[ C\left(k,m\right)S_{2}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{2}\left(n-j,m\right)S_{2}\left(j,k-m\right),m\leq k \](3)
\[ S_{1}\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(n+j-1,k+j\right)C\left(n+k,k-j\right)S_{2}\left(k+j,j\right) \](4)
\[ S_{2}\left(n,n-k\right)=\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(n+j-1,k+j\right)C\left(n+k,k-j\right)S_{1}\left(k+j,j\right) \]略
ページ情報
| タイトル | (*)スターリング数と2項係数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vnjrh5ay/ |
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(*)スターリング数の漸化式
\[
S_{1}\left(n,k\right)=S_{1}\left(n-1,k-1\right)-\left(n-1\right)S_{1}\left(n-1,k\right)
\]
スターリング数の逆行列
\[
\delta_{nj}=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)
\]
スターリング数の解釈
\[
\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}
\]
第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義
\[
P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]