分母にxの20乗がある定積分
分母にxの20乗がある定積分
次の定積分を求めよ
\[ \int_{2}^{\infty}\frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575}dx=? \]
次の定積分を求めよ
\[ \int_{2}^{\infty}\frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575}dx=? \]
\begin{align*}
\int_{2}^{\infty}\frac{x^{9}}{x^{20}-48x^{10}+575}dx & =\frac{1}{10}\int_{2^{10}}^{\infty}\frac{1}{x^{20}-8x^{10}+15}dx^{10}\\
& =\frac{1}{10}\int_{2^{10}}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{10}\right)^{2}-8x^{10}+15}dx^{10}\\
& =\frac{1}{10}\int_{2^{10}}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{10}-4\right)^{2}-1}dx^{10}\\
& =\frac{1}{10}\int_{2^{10}}^{\infty}\frac{1}{\left(\left(x^{10}-4\right)-1\right)\left(\left(x^{10}-4\right)+1\right)}dx^{10}\\
& =\frac{1}{10}\int_{2^{10}}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{10}-5\right)\left(x^{10}-3\right)}dx^{10}\\
& =\frac{1}{20}\int_{2^{10}}^{\infty}\frac{1}{\left(x^{10}-5\right)}-\frac{1}{\left(x^{10}-3\right)}dx^{10}\\
& =\frac{1}{20}\left[\log\left(x^{10}-5\right)-\log\left(x^{10}-3\right)\right]_{x^{10}\rightarrow2^{10}}^{\infty}\\
& =\frac{1}{20}\left[\log\frac{x^{10}-5}{x^{10}-3}\right]_{x^{10}\rightarrow2^{10}}^{\infty}\\
& =-\frac{1}{20}\log\frac{2^{10}-5}{2^{10}-3}\\
& =-\frac{1}{20}\log\frac{1019}{1021}\\
& =\frac{1}{20}\log\frac{1021}{1019}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母にxの20乗がある定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/g0vca9la/ |
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対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]
sinの3乗をｘの2乗で割った定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=?
\]
分母に2乗根と3乗根の積分
\[
\int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right)
\]
イータ関数の導関数がでてきます
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1+e^{x}}dx=?
\]