(0)

$\Rightarrow$

$X\ne \mathrm{\varnothing }\wedge Y\ne \mathrm{\varnothing }$のとき

$\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)\to \underset{x^{\prime }\in X}{\bigvee }P(x^{\prime },y^{\prime })$は常に成り立つので、
$$\mathrm{\exists }x\in X,\mathrm{\forall }{y}^{\prime }\in Y,\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)\to \underset{x^{\prime }\in X}{\bigvee }P(x^{\prime },y^{\prime })$$ も成り立つ。
これより、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\top }& \iff \mathrm{\exists }x\in X,\mathrm{\forall }{y}^{\prime }\in Y,\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)\to \underset{x^{\prime }\in X}{\bigvee }P(x^{\prime },y^{\prime })\\ & \iff \mathrm{\exists }x\in X\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)\to \mathrm{\forall }{y}^{\prime }\in Y\underset{x^{\prime }\in X}{\bigvee }P(x^{\prime },y^{\prime })\\ & \iff \underset{x\in X}{\bigvee }\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)\to \underset{y^{\prime }\in Y}{\bigwedge }\underset{x^{\prime }\in X}{\bigvee }P(x^{\prime },y^{\prime })\end{array}$$ となるので与式は成り立つ。

$X=\mathrm{\varnothing }$のとき

$$\begin{array}{rl}\underset{x\in \mathrm{\varnothing }}{\bigvee }\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)\to \underset{y\in Y}{\bigwedge }\underset{x\in \mathrm{\varnothing }}{\bigvee }P(x,y)& \iff \mathrm{\perp }\to \underset{y\in Y}{\bigwedge }\mathrm{\perp }\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ となるので与式は成り立つ。

$Y=\mathrm{\varnothing }$のとき

$$\begin{array}{rl}\underset{x\in X}{\bigvee }\underset{y\in \mathrm{\varnothing }}{\bigwedge }P(x,y)\to \underset{y\in \mathrm{\varnothing }}{\bigwedge }\underset{x\in X}{\bigvee }P(x,y)& \iff \underset{x\in X}{\bigvee }\mathrm{\top }\to \mathrm{\top }\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ となるので与式は成り立つ。

-

これらより、$X,Y$が空集合か空集合でないかに関わらず成り立つので与式は成り立つ。

$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。

逆は成り立たないを反例で示す。
$$\underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }\underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }x+y=0\nLeftarrow \underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }\underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }x+y=0$$ となることを示す。
右辺は、
$$\begin{array}{rl}\underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }\underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }x+y=0& \iff \underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }(0+y=0)\vee (1+y=0)\\ & \iff \{(0+0=0)\vee (1+0=0)\}\wedge \{(0-1=0)\vee (1-1=0)\}\\ & \iff (\mathrm{\top }\vee \mathrm{\perp })\wedge (\mathrm{\perp }\vee \mathrm{\top })\\ & \iff \mathrm{\top }\wedge \mathrm{\top }\\ & \iff \mathrm{\top }\end{array}$$ 左辺は、
$$\begin{array}{rl}\underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }\underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }x+y=0& \iff \underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }(x+0=0)\wedge (x-1=0)\\ & \iff \{(0+0=0)\wedge (0-1=0)\}\vee \{(1+0=0)\wedge (1-1=0)\}\\ & \iff (\mathrm{\top }\wedge \mathrm{\perp })\vee (\mathrm{\perp }\wedge \mathrm{\top })\\ & \iff \mathrm{\perp }\vee \mathrm{\perp }\\ & \iff \mathrm{\perp }\end{array}$$ となるので、
$$\underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }\underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }x+y=0\nLeftarrow \underset{y\in \{0,-1\}}{\bigwedge }\underset{x\in \{0,1\}}{\bigvee }x+y=0$$ となるので一般に逆は成り立たない。

反例2

逆は成り立たないを反例で示す。
$$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},xy>0\nLeftarrow \mathrm{\forall }y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\},xy>0$$ 右辺は任意の$y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$に対し、$x$を$x=y$ととれば$xy=y^2>0$なので常に成り立つ。
しかし左辺は$x=1$ととると、任意の$y\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$に対し$xy=y>0$とはならないので成り立たない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(0)-2

$X,Y$を可算無限として$X=\{x_1,\cdots ,x_m\},Y=\{y_1,\cdots ,y_n\}$とする。
$$\begin{array}{rl}\underset{x\in X}{\bigvee }\underset{y\in Y}{\bigwedge }P(x,y)& \iff \underset{y_1\in \{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}}{\bigwedge }\cdots \underset{y_m\in \{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}}{\bigwedge }P(x_1,y_1)\vee \cdots \vee P(x_m,y_m)\\ & \iff \underset{y\in \{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}}{\bigwedge }P(x_1,y)\vee \cdots \vee P(x_m,y)\underset{y_i\ne y_j(i\ne j)}{\bigwedge }P(x_1,y_1)\vee \cdots \vee P(x_m,y_m)\\ & \Rightarrow \underset{y\in \{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}}{\bigwedge }P(x_1,y)\vee \cdots \vee P(x_m,y)\\ & \iff \underset{y\in Y}{\bigwedge }\underset{x\in X}{\bigvee }P(x,y)\end{array}$$ これより、与式は成り立つ。