近傍・開近傍・閉近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質

定義

(1)近傍

位相空間$(X,\mathcal{O})$の元$x\in X$に対し、部分集合$V_x\subseteq X$が$x\in V_x^i\subseteq V_x$となるとき、$V_x$を$x$の近傍という。
または、位相空間$(X,\mathcal{O})$の元$x\in X$に対し、$x$を含むある開集合$U_x$が存在し、$U_x$を$V_x$が含むとき、すなわち$x\in U_x\subseteq V_x$となるとき$V_x$を$x$の近傍という。
$U_x$は開集合ですが、$V_x$は開集合とは限りません。

(2)開近傍

位相空間$(X,\mathcal{O})$の元$x\in X$に対し、$x$を含む開集合$U_x$を$x$の開近傍という。
開近傍は近傍が開集合となるときと同値である。

(3)閉近傍

位相空間$(X,\mathcal{O})$の元$x\in X$と$x$を含む閉集合$F_x$があり、ある開集合$U$が存在し、$x\in U\subseteq F_x$となるとき、$F_x$を閉近傍という。
閉近傍は近傍が閉集合となるときと同値である。

(4)近傍系

位相空間$(X,\mathcal{O})$が与えられたとき、元$x\in X$の近傍全体からなる部分集合族${\mathcal{V}}_x=\{V\subseteq X;x\in V^i\}$を近傍系という。
近傍系の元は開集合とは限りません。
${\mathcal{V}}_x$は一意的に決まります。
基本近傍系${\mathcal{B}}_x$が与えられたとき、近傍系${\mathcal{V}}_x$は
$${\mathcal{V}}_x=\{V_x\subseteq X;\mathrm{\exists }{B}_x\subseteq {\mathcal{B}}_x,B_x\subseteq V_x\}$$ となる。

(5)開近傍系

位相空間$(X,\mathcal{O})$が与えられたとき、任意の元$x\in X$の開近傍全体からなる集合族${\mathcal{U}}_x=\{U\in \mathcal{O};x\in U\}$を開近傍系という。
開近傍系の元は開集合になります。
${\mathcal{U}}_x$は一意的に決まります。

(6)基本近傍系

位相空間$(X,\mathcal{O})$と元$x\in X$が与えられたとき、近傍系${\mathcal{V}}_x$の部分集合${\mathcal{B}}_x\subseteq {\mathcal{V}}_x$があり、任意の近傍系${\mathcal{V}}_x$の元$V_x\in {\mathcal{V}}_x$に対し、ある${\mathcal{B}}_x$の元$B_x\in {\mathcal{B}}_x$が存在し、$B_x\subseteq V_x$となるとき、${\mathcal{B}}_x$を基本近傍系という。
すなわち、
$$\mathrm{\exists }{\mathcal{B}}_x\subseteq {\mathcal{V}}_x,\mathrm{\forall }{V}_x\in {\mathcal{V}}_x,\mathrm{\exists }{B}_x\in {\mathcal{B}}_x,B_x\subseteq V_x$$ である。
基本近傍系の元は開集合とは限りません。
${\mathcal{B}}_x$は一意的には決まりません。

(7)基本開近傍系

位相空間$(X,\mathcal{O})$と元$x\in X$が与えられたとき、開近傍系${\mathcal{U}}_x$の部分集合${\mathcal{B}}_x\subseteq {\mathcal{U}}_x$があり、任意の開近傍系${\mathcal{U}}_x$の元$U_x\in {\mathcal{U}}_x$に対し、ある${\mathcal{B}}_x$の元$B_x\in {\mathcal{B}}_x$が存在し、$B_x\subseteq U_x$となるとき、${\mathcal{B}}_x$を基本開近傍系という。
すなわち、
$$\mathrm{\exists }{\mathcal{B}}_x\subseteq {\mathcal{U}}_x,\mathrm{\forall }{U}_x\in {\mathcal{U}}_x,\mathrm{\exists }{B}_x\in {\mathcal{B}}_x,B_x\subseteq U_x$$ である。
また、基本近傍系の元は全て開近傍であるものを基本開近傍系という。
基本開近傍系の元は開集合となります。
${\mathcal{B}}_x$は一意的には決まりません。

(8)開基

位相空間$(X,\mathcal{O})$が与えられたとき、ある部分集合$\mathcal{B}\subseteq \mathcal{O}$が存在し、任意の開集合$O\in \mathcal{O}$に対し、ある部分集合$\{B_{\lambda };\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}\subseteq \mathcal{B}$が存在し、$O=\bigcup \{B_{\lambda };\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}=\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{B}_{\lambda }$で表されるとき、$\mathcal{B}$を開基という。
$\mathrm{\Lambda }=\mathrm{\varnothing }$とすると$O=\mathrm{\varnothing }$となるので$\mathrm{\varnothing }\in \mathcal{O}$となる。
$\mathcal{B}$は一意的には決まりません。

(9)準開基

位相空間$(X,\mathcal{O})$の開基$\mathcal{B}$が与えられたとき、任意の$B\in \mathcal{B}$に対しある集合族$\mathcal{C}$の有限部分集合$\{C_i;i\in I\}\subseteq \mathcal{C}$が存在し$B=\bigcap \{C_i;i\in I\}=\bigcap _{i\in I}{C}_i$となるとき、$\mathcal{C}$を準開基という。
$I=\mathrm{\varnothing }$とすると$B=X$となるので$X\in \mathcal{B}$となる。
準開基は一意的には決まりません。

性質

(1)開基の別定義

位相空間$(X,\mathcal{O})$があるとき、集合族$\mathcal{B}$が開基であることと、集合族$\mathcal{B}$の任意の元が開集合であり、任意の開集合$U\in \mathcal{O}$と任意の元$x\in U$についてある$B_x\in \mathcal{B}$が存在し、$x\in B_x\subseteq U$となることは同値である。

(2)基本開近傍系から開基の作成

位相空間$(X,\mathcal{O})$があり、$x\in X$として基本開近傍系${\mathcal{B}}_x$があるとき、$\mathcal{B}=\bigcup _{x\in X}{\mathcal{B}}_x$は開基となる。

(3)開基から基本開近傍系の作成

位相空間$(X,\mathcal{O})$があり、開基$\mathcal{B}$があるとき、$x\in X$として、${\mathcal{B}}_x=\{B_x\in \mathcal{B};x\in B_x\}$は$x$の基本開近傍系となる。

(4)

集合$X$とべき集合$2^X$の部分集合を$\mathcal{B}\subseteq 2^X$として、$\bigcup \mathcal{B}=X$かつ$A,B\in \mathcal{B}\to A\cap B\in \mathcal{B}$となるとき、$\mathcal{B}$は開基となる。