第1可算と第2可算の定義
第1可算と第2可算の定義
言い換えると、位相空間の任意の元に対し、可算な基本近傍系が存在するとき、第1可算公理を満たす。
言い換えると、位相空間が可算な開基を持つとき第2可算公理を満たす。
(1)第1可算
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の元\(x\in X\)において、ある基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)が存在し、濃度が高々可算すなわち\(\left|\mathcal{B}_{x}\right|\leq\aleph_{0}\)のとき、第1可算である、または第1可算公理を満たすという。言い換えると、位相空間の任意の元に対し、可算な基本近傍系が存在するとき、第1可算公理を満たす。
(2)第2可算
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、ある開基\(\mathcal{B}\)が存在し濃度が高々可算すなわち\(\left|\mathcal{B}\right|\leq\aleph_{0}\)のとき第2可算である、または第2可算公理を満たすという。言い換えると、位相空間が可算な開基を持つとき第2可算公理を満たす。
第1可算の例
通常距離\(d\)のユークリッド空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)は第1可算となる。何故なら任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対し、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)ととれば濃度が高々可算な基本近傍系となっているからである。
第1可算でない例
第1可算でない例としては補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)がある。第2可算の例
通常距離\(d\)のユークリッド空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)は第2可算となる。何故なら\(\mathcal{B}=\left\{ U\left(x,r\right);x\in\mathbb{Q},r\in\mathbb{Q}\right\} \)ととれば濃度が高々可算な開基となっているからである。
第2可算でない例
離散空間\(\left(\mathbb{R},2^{\mathbb{R}}\right)\)は第2可算とはならない。このときの開基は\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ x\right\} ;x\in\mathbb{R}\right\} \)だけでありこれは非可算集合であるからである。
第1可算であるが第2可算でない例
上限位相・下限位相は第1可算であるが第2可算でない。ページ情報
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床関数の総和の2乗の定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?
\]
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
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