第2可算ならばリンデレフ空間

$\Rightarrow$

$X$の任意の開被覆を$\mathcal{U}=\{U_{\lambda };\lambda \in \mathrm{\Lambda }\}$として、第2可算を満たす可算開基を$\mathcal{B}=\{B_n;n\in \mathbb{N}\}$とする。
任意の$x\in X$に対しある$\lambda \in \mathrm{\Lambda }$が存在し、$x\in U_{\lambda }$を満たす。
またこのとき、ある$n\in \mathbb{N}$が存在し、$x\in B_n\subseteq U_{\lambda }$を満たす。
各点$x$についてこれを満たす$B_n$全体は$\mathcal{B}$の部分族となり、$\{B_{n_i};i\in \mathbb{N}\}\subseteq \mathcal{B}$となる。
ここで$U_{{\lambda }_i}$を$B_{n_i}\subseteq U_{\lambda }$を満たす$U_{\lambda }$から1つを選び$U_{{\lambda }_i}=U_{\lambda }$とする。
そうすると、任意の$x\in X$に対し、ある$i\in \mathbb{N}$が存在し、$x\in B_{n_i}\subseteq U_{{\lambda }_i}$となるので$X=\bigcup _{x\in X}\left\{x\right\}\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{B}_{n_i}\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb{N}}{U}_{{\lambda }_i}$となり可算開被覆を持つのでリンデレフ空間となる。
これより$\Rightarrow$が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
上限位相はリンデレフ空間であるが第2可算ではない。
故に$\Leftarrow$は一般的に成り立たない。