集合が同じで位相が異なる空間
集合が同じで位相が異なる空間
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
(1)
\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相、すなわち\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\right)\)は位相空間となる。(2)
\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。(1)
\(\mathcal{O}_{1}\)にも\(\mathcal{O}_{2}\)にも空集合\(\emptyset\)と全体集合\(X\)が含まれているので、\(\emptyset,X\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)なので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{2}\)となるので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)なので\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{2}\)となり、\(\bigcup\mathcal{O}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
これらより、位相であるための条件を満たしているので\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相となる。
(2)
反例で示す。2つの位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right),\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \cup\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となるが、\(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ b\right\} \)が位相に入っていない。
故に\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。
ページ情報
タイトル | 集合が同じで位相が異なる空間 |
URL | https://www.nomuramath.com/ybq15255/ |
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\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)
\]
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複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
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\[
A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\}
\]