上限位相と下限位相より強ければ離散位相

by nomura · 2024年7月16日

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上限位相と下限位相より強ければ離散位相
全体集合を実数$\mathbb{R}$として、上限位相${\mathcal{O}}_u$より強く、下限位相${\mathcal{O}}_l$より強い位相は離散位相となる。

$a,b,c\in \mathbb{R},a<b<c$とする。
上限位相なので$(a,b]$は開集合となり、下限位相なので$[b,c)$は開集合となる。
これより、$(a,b]\cap [b,c)=\left\{b\right\}$も開集合になる。
従って任意の1点集合が開集合となるので離散位相となる。

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タイトル	上限位相と下限位相より強ければ離散位相
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上限位相・下限位相は通常位相より強い

$$\mathcal{O}\subseteq {\mathcal{O}}_u$$

上限位相と下限位相の定義

$${\mathcal{B}}_u=\{(a,b];a,b\in \mathbb{R},a<b\}$$

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