上限位相と下限位相より強ければ離散位相
上限位相と下限位相より強ければ離散位相
全体集合を実数\(\mathbb{R}\)として、上限位相\(\mathcal{O}_{u}\)より強く、下限位相\(\mathcal{O}_{l}\)より強い位相は離散位相となる。
全体集合を実数\(\mathbb{R}\)として、上限位相\(\mathcal{O}_{u}\)より強く、下限位相\(\mathcal{O}_{l}\)より強い位相は離散位相となる。
\(a,b,c\in\mathbb{R},a<b<c\)とする。
上限位相なので\(\left(a,b\right]\)は開集合となり、下限位相なので\(\left[b,c\right)\)は開集合となる。
これより、\(\left(a,b\right]\cap\left[b,c\right)=\left\{ b\right\} \)も開集合になる。
従って任意の1点集合が開集合となるので離散位相となる。
上限位相なので\(\left(a,b\right]\)は開集合となり、下限位相なので\(\left[b,c\right)\)は開集合となる。
これより、\(\left(a,b\right]\cap\left[b,c\right)=\left\{ b\right\} \)も開集合になる。
従って任意の1点集合が開集合となるので離散位相となる。
ページ情報
| タイトル | 上限位相と下限位相より強ければ離散位相 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rhso8961/ |
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上限位相空間・下限位相空間の分離公理(T1・T2・T3・T4・正則空間・正規空間)
上限位相・下限位相での開集合と閉集合
上限位相・下限位相は通常位相より強い
\[
\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}
\]
上限位相と下限位相の定義
\[
\mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\}
\]