上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能

上限位相空間

背理法により示す。
距離化可能であると仮定する。
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は可分であるので、距離空間で可分ならば第2可算公理を満たす。
しかし、上限位相空間は第2可算公理を満たさないので矛盾。
故に背理法より距離化不可能である。

下限位相空間

上限位相空間と同様にすればよい。