上限位相空間のみ示す。
下限位相空間も同様である。

(1)

任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対し、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ \left(x-\frac{1}{n},x\right];n\in\mathbb{N}\right\} \)は基本近傍系となり\(\left|\mathcal{B}_{x}\right|\leq\aleph_{0}\)を満たすので第1可算公理を満たす。

(2)

背理法により示す。
\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)が第2可算公理を満たすと仮定する。
そうすると、可算個の開基\(\mathcal{B}\)がとれる。
開集合\(A_{x}\subseteq\mathcal{B}\)を\(x\in A_{x}\subseteq\left(x-1,x\right]\)とする。
ここで\(\mathcal{A}:=\left\{ A_{x};x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right\} \subseteq\mathcal{B}\)とおいて、無理数\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)と\(\mathcal{A}\)の濃度を比較する。
写像\(f:\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\rightarrow\mathcal{A},x\mapsto A_{x}\)が単射でないと仮定する。
そうすると、ある\(a,b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)が存在し\(\lnot\left(A_{a}=A_{b}\rightarrow a=b\right)\Leftrightarrow A_{a}=A_{b}\land a\ne b\)を満たす。
このとき、\(a<b\)としても一般性を失わなく、\(b\notin\left(a-1,a\right]=A_{a}\)となるが、\(b\in A_{b}=A_{a}\)なので矛盾。
従って仮定が間違いで写像\(f\)は単射となるので、\(\left|\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\right|\leq\left|\mathcal{A}\right|\leq\)\(\left|\mathcal{B}\right|\)となるが無理数\(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)の濃度は非可算なので、開基\(\mathcal{B}\)の濃度も非可算となり矛盾。
故に背理法より\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は第2可算公理を満たさない。