4次式の点の軌跡

by nomura · 2025年2月7日

4次式の点の軌跡
$t$が実数全体を動くとき、点$\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)$の軌跡を求めよ。

点$\left(t^{2}+1,t^{4}+2t^{2}\right)$を$\left(x,y\right)$と置いて、
\begin{align*} \exists t,\begin{cases} x=t^{2}+1\\ y=t^{4}+2t^{2} \end{cases} & \Leftrightarrow\exists t,\begin{cases} t^{2}=x-1\\ y=t^{4}+2t^{2} \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\exists t,\begin{cases} t^{2}=x-1\\ y=\left(x-1\right)^{2}+2\left(x-1\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 0\leq x-1\\ y=x^{2}-1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} 1\leq x\\ y=x^{2}-1 \end{cases} \end{align*} となるので$y=x^{2}-1\land1\leq x$となる。