絶対値を含む不等式の範囲

\begin{align*} & a\left(\left|x\right|-a\right)+x+1<0\land-1<a\\ \Leftrightarrow & a\left(\left|x\right|-a\right)+x+1<0\land-1<a\land\left(x<0\lor0\leq x\right)\\ \Leftrightarrow & \left(\left(a\left(\left|x\right|-a\right)+x+1<0\land x<0\right)\lor\left(a\left(\left|x\right|-a\right)+x+1<0\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(a\left(-x-a\right)+x+1<0\land x<0\right)\lor\left(a\left(x-a\right)+x+1<0\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(1-a\right)x<a^{2}-1\land x<0\right)\lor\left(\left(a+1\right)x<a^{2}-1\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(1-a\right)x<a^{2}-1\land x<0\land\left(a=1\lor a\ne1\right)\right)\lor\left(x<a-1\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(1-a\right)x<a^{2}-1\land x<0\land a\ne1\right)\lor\left(x<a-1\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(\left(1-a\right)x<a^{2}-1\land x<0\land\left(a<1\lor1<a\right)\right)\right)\lor\left(x<a-1\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(\left(\left(1-a\right)x<a^{2}-1\land x<0\land a<1\right)\lor\left(\left(1-a\right)x<a^{2}-1\land x<0\land1<a\right)\right)\right)\lor\left(x<a-1\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(\left(x<-\left(a+1\right)\land x<0\land a<1\right)\lor\left(x>-\left(a+1\right)\land x<0\land1<a\right)\right)\right)\lor\left(x<a-1\land0\leq x\right)\right)\land-1<a\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(x<-\left(a+1\right)<0\land-1<a<1\right)\lor\left(-\left(a+1\right)<x<0\land1<a\right)\right)\right)\lor\left(0\leq x<a-1\land-1<a\right)\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(x<-\left(a+1\right)\land-1<a<1\right)\lor\left(-\left(a+1\right)<x<0\land1<a\right)\right)\right)\lor\left(0\leq x<a-1\land\left(-1<a\leq1\lor1<a\right)\right)\\ \Leftrightarrow & \left(\left(\left(x<-\left(a+1\right)\land-1<a<1\right)\lor\left(-\left(a+1\right)<x<0\land1<a\right)\right)\right)\lor\left(0\leq x<a-1\land1<a\right)\\ \Leftrightarrow & \left(x<-\left(a+1\right)\land-1<a<1\right)\lor\left(-\left(a+1\right)<x<a-1\land1<a\right) \end{align*} これより、
\[ \begin{cases} x<-\left(a+1\right) & -1<a<1\\ -\left(a+1\right)<x<a-1 & 1<a \end{cases} \] となる。