xのx乗が指数タワーになってる定積分

by nomura · 2025年3月24日

Follow @nomuramath

xのx乗が指数タワーになってる定積分
次の定積分を求めよ。
$${\int }_0^1{\left(x^x\right)}^{{\left(x^x\right)}^{{\left(x^x\right)}^{...}}}dx=?$$

被積分関数を
$$y={\left(x^x\right)}^{{\left(x^x\right)}^{{\left(x^x\right)}^{...}}}$$ とおくと、$0\le x\le 1$なので、$0\le y$となり、
$$\begin{array}{rl}y& ={\left(x^x\right)}^y\\ & =x^{xy}\end{array}$$ となる。
両辺に$x^{-xy}$を掛けて、
$$\begin{array}{rl}1& =y{x}^{-xy}\\ & =y{e}^{-xy\log x}\\ & =\frac{-xy\log x}{-x\log x}{e}^{-xy\log x}\end{array}$$ となるので、
$$-x\log x=-xy\log x{e}^{-xy\log x}$$ となる。
この両辺にランベルトのW関数を作用させると、
$$W(-x\log x)=-xy\log x$$ となるので、
$$y=\frac{W(-x\log x)}{-x\log x}$$ となる。
これより、
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{\left(x^x\right)}^{{\left(x^x\right)}^{{\left(x^x\right)}^{...}}}dx& ={\int }_0^{1}ydx\\ & ={\int }_0^1\frac{W(-x\log x)}{-x\log x}dx\\ & ={\int }_0^1\frac{1}{-x\log x}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-k)}^{k-1}}{k!}{(-x\log x)}^{k}dx(W\left(x\right)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-k)}^{k-1}}{k!}{x}^k)\\ & ={\int }_0^1\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^{k-1}}{k!}{x}^{k-1}{\log }^{k-1}xdx\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^{k-1}}{k!}{\int }_0^1{x}^{k-1}{\log }^{k-1}xdx\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^{k-1}}{k!}\cdot \frac{{(-1)}^{k-1}\mathrm{\Gamma }\left(k\right)}{k^k}dx({\int }_0^1{x}^k{\log }^{k}xdx=\frac{{(-1)}^{k}k!}{{(k+1)}^{k+1}}dx)\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{k-1}}{k^2}dx\\ & =\eta \left(2\right)\\ & =(1-2\frac{1}{2^2})\zeta \left(2\right)\\ & =\frac{\zeta \left(2\right)}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}\\ & =\frac{{\pi }^2}{12}\end{array}$$

---

ページ情報

タイトル	xのx乗が指数タワーになってる定積分
URL	https://www.nomuramath.com/v7u9s30k/
SNSボタン	Tweet

tanの平方根の積分

$$\int \sqrt{\tan x}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\log (\tan x-\sqrt{2\tan x}+1)-\frac{\sqrt{2}}{4}\log (\tan x+\sqrt{2\tan x}+1)+\frac{\sqrt{2}}{2}{\tan }^{\bullet }(\sqrt{2\tan x}-1)+\frac{\sqrt{2}}{2}{\tan }^{\bullet }(\sqrt{2\tan x}+1)+C$$

分母に正接がある関数の定積分

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?$$

複素ガンマ関数2つを含む広義積分

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }(1-ix)\mathrm{\Gamma }(1+ix)dx=?$$

イータ関数の導関数がでてきます

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\log x}{1+e^x}dx=?$$