(1)

\begin{align*} X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\ne\emptyset & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\left(X\ne O_{1}\cup O_{2}\lor O_{1}\ne\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\lnot\left(X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\lnot\left(X=O_{2}\land O_{1}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\lnot\left(X=O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=X\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land\left(X\ne O_{2}\lor O_{1}\cap O_{2}\ne X\right)\\ & \Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{2}\ne X \end{align*} 同様に\(X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{2}\ne\emptyset\Leftrightarrow X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\ne X\)となる。
これより、非連結の条件は開集合の補集合は閉集合なので\(O_{1}^{c}=F_{1},O_{2}^{c}=F_{2}\)とおくと、
\begin{align*} \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset & \Leftrightarrow\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne X\land O_{2}\ne X\\ & \Leftrightarrow\exists F_{1}^{c},F_{2}^{c}\in\mathcal{O},X=F_{1}^{c}\cup F_{2}^{c}\land F_{1}^{c}\cap F_{2}^{c}=\emptyset\land F_{1}^{c}\ne X\land F_{2}^{c}\ne X\\ & \Leftrightarrow\exists F_{1},F_{2}\in\mathcal{F},\emptyset=F_{1}\cap F_{2}\land F_{1}\cup F_{2}=X\land F_{1}\ne\emptyset\land F_{2}\ne X \end{align*} となるので開集合についての条件が閉集合についても成り立つ。
故に題意は成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

非連結の定義より、ある開集合\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}\)に対し\(X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne0\)なので、\(O_{1}^{c}\cap O_{2}^{c}=\emptyset\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)より、\(O_{1}^{c}\subseteq O_{2}\land O_{2}\subseteq O_{1}^{c}\Leftrightarrow O_{2}=O_{1}^{c}\)となる。
開集合の補集合は閉集合なので\(O_{1}^{c}\)は閉集合となり\(O_{2}\)が閉集合となるが、\(O_{2}\)は開集合でもあるので、開集合かつ閉集合となる。
これより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\emptyset,X\)以外の\(O_{1}\in\mathcal{O}\)が開集合かつ閉集合とする。このとき\(O_{2}=O_{1}^{c}\)とおくと、非連結の定義
\[ \exists O_{1}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{1}^{c}\land O_{1}\cap O_{1}^{c}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{1}^{c}\ne\emptyset \] が成り立つので、非連結となる。
これより、\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので題意は成り立つ。