位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結
位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の連結集合の族\(\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)があるとき、\(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset\)ならば和集合\(A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は連結となる。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の連結集合の族\(\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)があるとき、\(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset\)ならば和集合\(A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は連結となる。
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\(A,B\)が共に連結集合でも和集合\(A\cup B\)も連結であるとは限らない反例は実数全体の集合\(\mathbb{R}\)と通常位相\(\mathcal{O}_{n}\)の位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)において\(\left(0,1\right),\left(2,3\right)\)は共に連結集合であるが、和集合\(\left(0,1\right)\cup\left(2,3\right)\)は連結ではない。
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積集合\(A=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は連結とは限らない。反例は\(\mathbb{R}^{2}\)上で\(\left\{ \left(x,y\right);x^{2}+\left(y+1\right)^{2}=\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right\} \)と\(\left\{ \left(x,y\right);x^{2}+\left(y-1\right)^{2}=\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right\} \)はどちらも連結であるが、積集合は\(\left\{ \left(-1,0\right),\left(1,0\right)\right\} \)となり非連結となる。
通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)で\(\left(0,3\right),\left[-1,2\right],\left(1,4\right)\)はそれぞれ連結であり、\(\left(0,3\right)\cap\left[-1,2\right]\cap\left(1,4\right)=\left(1,2\right]\ne\emptyset\)なので\(\left(0,3\right)\cup\left[-1,2\right]\cup\left(1,4\right)=\left[-1,4\right)\)は連結となる。
\(A\)が非連結と仮定する。
このとき、
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\land A\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land A\cap O_{1}\ne\emptyset\land A\cap O_{2}\ne\emptyset \] が成り立つ。
\(A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\)なので\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\)より、\(\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\subseteq A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\)となる。
また\(A\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)より、\(\emptyset=A\cap O_{1}\cap O_{2}=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap O_{1}\cap O_{2}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap O_{1}\cap O_{2}\right)\)となるので、\(\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)となる。
\(A\cap O_{1}\ne\emptyset\)より、\(\emptyset\ne A\cap O_{1}=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap O_{1}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap O_{1}\right)\)となり\(\exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{1}\ne\emptyset\)となるがこの\(A_{\lambda}\)が連結であるためには\(A_{\lambda}\cap O_{2}=\emptyset\)でなければいけないので、\(\exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{1}\ne\emptyset\land A_{\lambda}\cap O_{2}=\emptyset\)となる。
これを満たす\(\lambda\)を\(\lambda_{1}\)とする。
同様に\(A\cap O_{2}\ne\emptyset\)より\(\exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{2}\ne\emptyset\land A_{\lambda}\cap O_{1}=\emptyset\)となる。
これを満たす\(\lambda\)を\(\lambda_{2}\)とする。
これらより、
\begin{align*} \left(O_{1}\cup O_{2}\right)\cap\left(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right) & =\left(O_{1}\cap A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)\cup\left(O_{2}\cap A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)\\ & =\left(\emptyset\cap A_{\lambda_{1}}\right)\cup\left(\emptyset\cap A_{\lambda_{2}}\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となる。
この\(\left(O_{1}\cup O_{2}\right)\cap\left(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)\)を別の方法で求めてみると\(O_{1}\cup O_{2}\supseteq A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\supseteq A_{\lambda_{1}}\cup A_{\lambda_{2}}\supseteq A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\)なので\(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset\)より、\(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\ne\emptyset\)となり、\(\left(O_{1}\cup O_{2}\right)\cap\left(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)=A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\ne\emptyset\)となるので矛盾。
故に背理法より\(A\)は連結となる。
このとき、
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\land A\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land A\cap O_{1}\ne\emptyset\land A\cap O_{2}\ne\emptyset \] が成り立つ。
\(A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\)なので\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\)より、\(\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\subseteq A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\)となる。
また\(A\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)より、\(\emptyset=A\cap O_{1}\cap O_{2}=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap O_{1}\cap O_{2}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap O_{1}\cap O_{2}\right)\)となるので、\(\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\)となる。
\(A\cap O_{1}\ne\emptyset\)より、\(\emptyset\ne A\cap O_{1}=\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap O_{1}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap O_{1}\right)\)となり\(\exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{1}\ne\emptyset\)となるがこの\(A_{\lambda}\)が連結であるためには\(A_{\lambda}\cap O_{2}=\emptyset\)でなければいけないので、\(\exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{1}\ne\emptyset\land A_{\lambda}\cap O_{2}=\emptyset\)となる。
これを満たす\(\lambda\)を\(\lambda_{1}\)とする。
同様に\(A\cap O_{2}\ne\emptyset\)より\(\exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\cap O_{2}\ne\emptyset\land A_{\lambda}\cap O_{1}=\emptyset\)となる。
これを満たす\(\lambda\)を\(\lambda_{2}\)とする。
これらより、
\begin{align*} \left(O_{1}\cup O_{2}\right)\cap\left(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right) & =\left(O_{1}\cap A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)\cup\left(O_{2}\cap A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)\\ & =\left(\emptyset\cap A_{\lambda_{1}}\right)\cup\left(\emptyset\cap A_{\lambda_{2}}\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となる。
この\(\left(O_{1}\cup O_{2}\right)\cap\left(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)\)を別の方法で求めてみると\(O_{1}\cup O_{2}\supseteq A=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\supseteq A_{\lambda_{1}}\cup A_{\lambda_{2}}\supseteq A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\)なので\(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset\)より、\(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\ne\emptyset\)となり、\(\left(O_{1}\cup O_{2}\right)\cap\left(A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\right)=A_{\lambda_{1}}\cap A_{\lambda_{2}}\ne\emptyset\)となるので矛盾。
故に背理法より\(A\)は連結となる。
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| タイトル | 位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結 |
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