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密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)の連結成分・弧状連結成分は共に\(\left\{ a,b\right\} \)で基本近傍系は\(\mathcal{B}_{a}=\left(\left\{ a,b\right\} \right),\mathcal{B}_{b}=\left(\left\{ a,b\right\} \right)\)ととれるので局所連結・局所弧状連結である。
シェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)の連結成分・弧状連結成分は共に\(\left\{ a,b\right\} \)で基本近傍系は\(\mathcal{B}_{a}=\left(\left\{ a\right\} \right),\mathcal{B}_{b}=\left(\left\{ a,b\right\} \right)\)ととれるので局所連結・局所弧状連結である。
離散位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)の連結成分・弧状連結成分は共に\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)で基本近傍系は\(\mathcal{B}_{a}=\left(\left\{ a\right\} \right),\mathcal{B}_{b}=\left(\left\{ b\right\} \right)\)ととれるので局所連結・局所弧状連結である。

局所連結の例

ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)で\(a\in\mathbb{R}\)の基本近傍系は\(\mathcal{B}_{a}=\left(U_{\epsilon}\left(a\right);\epsilon>0\right)\)であり\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)は連結であるので、\(\left(\mathbb{R},d\right)\)は局所連結となる。

連結であるが弧状連結でも局所連結でもない例

ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)で
\[ \begin{cases} A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\ A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\ B=\left\{ \left(x,0\right);0<x\leq1\right\} \end{cases} \] とおくと、部分空間
\[ C=B\cup A_{\infty}\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k} \] は原点抜き櫛空間となり、これは連結であるが弧状連結でも局所連結でもない。
連結であるが弧状連結でないことは
\begin{align*} C & =B\cup A_{\infty}\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\\ & =\left(B\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)^{a} \end{align*} より、\(B\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\)は弧状連結であるので連結となり
\[ \left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\right)\cup B\subseteq A_{\infty}\cup\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\right)\cup B\subseteq\left(\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\right)\cup B\right)^{a} \] を満たすので、\(A_{\infty}\cup\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\right)\cup B=C\)も連結となる。
しかし、原点\(\left(0,0\right)\)は含まれていないので\(\left(0,1\right)\)から\(\left(1,0\right)\)への連続な道は存在しないので\(C\)は弧状連結ではない。
\(C\)が局所連結でないことは\(\epsilon\)近傍を\(U_{\mathbb{R}^{2}}\left(\left(0,1\right),\epsilon\right),0<\epsilon<1\)として、\(\left(0,1\right)\in C\)の近傍を
\[ U_{\left(0,1\right)}=\left(A_{\infty}\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\cap U_{\mathbb{R}^{2}}\left(\left(0,1\right),\epsilon\right) \] ととると、\(B_{\left(0,1\right)}\subseteq U_{\left(0,1\right)}\)となる近傍\(B_{\left(0,1\right)}\)は無限個の連結成分を含み連結な近傍からなる基本近傍系をとることができないからである。
従って、\(C\)は局所連結ではない。

局所連結であるが連結でない例

ユークリッド空間\(\left(\mathbb{R}^{2},d\right)\)の部分空間
\[ X=\left\{ \left(x,\left\lfloor x\right\rfloor \right)\in\mathbb{R}^{2};x\in\mathbb{R}\right\} \] を考える。
このとき、任意の\(x\in X\)、任意の\(x\)の近傍\(U_{X}\left(x\right)\)に対し、\(\epsilon<1\)で\(V_{\mathbb{R}^{2}}\left(x,\epsilon\right)\subseteq U_{\mathbb{R}^{2}}\left(x\right)\)となる近傍を選べば、\(V_{\mathbb{R}^{2}}\left(x,\epsilon\right)\cap X\)は連結となるので\(X\)は局所連結となる。
しかし、\(X\)は連結ではない。