連結成分・弧状連結成分が互いに素
連結成分・弧状連結成分が互いに素
連結成分・弧状連結成分について次が成り立つ。
ここで\(C_{x}\)は\(x\)を要素に持つ連結成分である。
ここで\(\pi_{x}\)は\(x\)を要素に持つ弧状連結成分である。
連結成分・弧状連結成分について次が成り立つ。
(1)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、\(C_{x}\cap C_{y}\ne0\)と\(C_{x}=C_{y}\)は同値である。ここで\(C_{x}\)は\(x\)を要素に持つ連結成分である。
(2)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、\(\pi_{x}\cap\pi_{y}\ne0\)と\(\pi_{x}=\pi_{y}\)は同値である。ここで\(\pi_{x}\)は\(x\)を要素に持つ弧状連結成分である。
(1)
連結成分は同値関係なので、\(C_{x}\cap C_{y}\ne0\)と\(C_{x}=C_{y}\)は同値となる。(1)-2
\(\Rightarrow\)
連結成分\(C_{x},C_{y}\)は連結で条件より\(C_{x}\cap C_{y}\ne0\)なので\(C_{x}\cup C_{y}\)は連結となる。\(x\)を要素に持つ最大の連結部分集合は\(C_{x}\)なので、\(x\in C_{x}\cup C_{y}\)より\(C_{x}\cup C_{y}\subseteq C_{x}\)となる。
従って\(C_{y}\subseteq C_{x}\)となる。
同様にすると、\(C_{x}\subseteq C_{y}\)となるので\(C_{x}=C_{y}\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
\(C_{x}\)は\(x\)を要素に持つので空集合ではない。これより、\(C_{x}=C_{y}\ne0\)となるがこのとき、\(C_{x}\cap C_{y}=C_{x}\cap C_{x}=C_{x}\ne0\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。(2)
連結成分と同様にすればいい。ページ情報
| タイトル | 連結成分・弧状連結成分が互いに素 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bqvev4bw/ |
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連結・非連結の別定義
非連結であることと、空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合となる集合が存在することは同値。
櫛(くし)空間と位相幾何学者の正弦曲線の定義
\[
\begin{cases}
A_{n}=\left\{ \left(\frac{1}{n},y\right);0<y\leq1\right\} \\
A_{\infty}=\left\{ \left(0,y\right);0<y\leq1\right\} \\
B=\left\{ \left(x,0\right);0\leq x\leq1\right\}
\end{cases}
\]
連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義
連結成分・弧状連結成分と開集合・閉集合の関係