積位相(直積位相)の定義と性質
積位相(直積位相)の定義と性質
積位相(直積位相)の定義
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、集合を\(X\times Y\)で開基を\(\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \)とすると位相空間となり、これを積位相という。
積位相(直積位相)の性質
このとき、任意の\(\mu\in M\)について、\(x_{\mu}\in X_{\mu}\)以外の元を固定して\(f\)を\(X_{\mu}\)から\(Y\)への写像と考えたときに\(f\)が連続であっても、\(\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\)から\(Y\)への写像が連続であるとは限らない。
積位相(直積位相)の定義
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、集合を\(X\times Y\)で開基を\(\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \)とすると位相空間となり、これを積位相という。
積位相(直積位相)の性質
(1)直積位相空間の連続写像
直積位相空間\(\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\)と位相空間\(Y\)と写像\(f:\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\rightarrow Y\)があるとする。このとき、任意の\(\mu\in M\)について、\(x_{\mu}\in X_{\mu}\)以外の元を固定して\(f\)を\(X_{\mu}\)から\(Y\)への写像と考えたときに\(f\)が連続であっても、\(\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\)から\(Y\)への写像が連続であるとは限らない。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \right)\)は位相空間にならないので注意。
例えば\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と\(\left(\left\{ c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right)\)のとき、
\begin{align*} \left\{ O_{X}\times O_{y};O_{X}\in\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,O_{y}\in\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right\} & =\left\{ \left\{ a\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} \times\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c,d\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a,c\right),\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right),\left(b,d\right)\right\} \right\} \end{align*} となるが、\(\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} =\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right)\right\} \)は含まれていない。
これより、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \right)\)は位相空間にならない。
例えば\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と\(\left(\left\{ c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right)\)のとき、
\begin{align*} \left\{ O_{X}\times O_{y};O_{X}\in\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,O_{y}\in\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right\} & =\left\{ \left\{ a\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} \times\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c,d\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a,c\right),\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right),\left(b,d\right)\right\} \right\} \end{align*} となるが、\(\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} =\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right)\right\} \)は含まれていない。
これより、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{X}\in\mathcal{O}_{X},O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\right\} \right)\)は位相空間にならない。
(1)
反例で示す。\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}\)として、\(\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}\)として
\[ f\left(x,y\right)=\begin{cases} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & \left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)\\ 0 & \left(x,y\right)=\left(0,0\right) \end{cases} \] とする。
このとき、\(\left(0,0\right)\)以外の点では明らかに連続であり、\(y=0\)を固定して、\(x\rightarrow0\)とすると、\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0\)、\(x=0\)を固定して、\(y\rightarrow0\)とすると、\(\lim_{y\rightarrow0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=0\)となり、\(f\left(0,0\right)=0\)なので連続である。
しかし、\(m\in\mathbb{R},y=mx\)として、原点に近づけると、
\begin{align*} \lim_{x\rightarrow0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & =\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\left(mx\right)}{x^{2}+\left(mx\right)^{2}}\\ & =\lim_{x\rightarrow0}\frac{m}{1+m^{2}} \end{align*} となるので近づき方により、\(\left(0,0\right)\)での値が異なる。
従って、原点では連続ではないので、\(f:\prod_{\mu\in M}X_{\mu}\rightarrow Y\)は連続とはならない。
ページ情報
| タイトル | 積位相(直積位相)の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/azi0un9h/ |
| SNSボタン |
文字を消去すると4次方程式
\[
\begin{cases}
x^{2}-2y=4\\
y^{2}-2x=4
\end{cases}
\]
開球同士が交わるときの包含関係
\[
B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)
\]
カントールの対関数の漸化式
\[
\pi\left(m,n\right)+1=\begin{cases}
\pi\left(m-1,n+1\right) & m\ne0\\
\pi\left(n+1,0\right) & m=0
\end{cases}
\]
積み木の積み上げ問題
積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？