補有限位相が位相となることを示す。

空集合・全体集合

定義より明らかに\(\emptyset\in\mathcal{O}_{c}\)となる。
\(\left|X^{c}\right|=\left|\emptyset\right|=0<\infty\)なので、\(X\in\mathcal{O}_{c}\)となる。

積集合

任意の\(A_{1},A_{2}\in\mathcal{O}\)に対し、\(A_{1},A_{2}\)のどちらかが空集合なら\(A_{1}\cap A_{2}=\emptyset\)となるので\(A_{1}\cap A_{2}\in\mathcal{O}_{c}\)となる。
どちらも空集合でない場合は\(A_{1}^{c},A_{2}^{c}\)は共に有限集合になるので\(\left|\left(A_{1}\cap A_{2}\right)^{c}\right|=\left|A_{1}^{c}\cup A_{2}^{c}\right|<\left|A_{1}^{c}\right|+\left|A_{2}^{c}\right|<\infty\)となるので、\(A_{1}\cap A_{2}\in\mathcal{O}_{c}\)となる。
これより、任意の\(A_{1},A_{2}\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(A_{1}\cap A_{2}\in\mathcal{O}_{c}\)となる。

和集合

任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し、\(A_{\lambda}\in\mathcal{O}_{c}\)とする。
任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し、\(A_{\lambda}=\emptyset\)のとき、\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset\in\mathcal{O}_{c}\)となる。
ある\(\lambda_{0}\in\Lambda\)が存在して、\(A_{\lambda_{0}}\ne\emptyset\)のとき、\(\left|\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}\right|=\left|\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right|<\left|A_{\lambda_{0}}^{c}\right|<\infty\)となるので、\(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\in\mathcal{O}_{c}\)となる。

-

これらより、\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は位相となる。