実数では補有限位相は通常位相より弱い
実数では補有限位相は通常位相より弱い
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を入れた補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)より弱い位相、すなわち\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)である。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を入れた補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)より弱い位相、すなわち\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)である。
\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)では\(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \)は開集合なので\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)でもは\(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \)は開集合となる。
\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)での閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{c}\)として、\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)での閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{n}\)とする。
このとき、任意の\(F\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F\)は有限個の点の和集合なので\(F\in\mathcal{F}_{n}\)となる。
従って、任意の\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{n}\)となるので\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)となるので題意は成り立つ。
このとき、任意の\(F\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F\)は有限個の点の和集合なので\(F\in\mathcal{F}_{n}\)となる。
従って、任意の\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{n}\)となるので\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 実数では補有限位相は通常位相より弱い |
| URL | https://www.nomuramath.com/fcb4ivrq/ |
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