(1)

可算無限集合なので\(X=\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)とでき、元\(x_{i}\in X\)での基本近傍系を\(\mathcal{B}_{i}=\left\{ X\setminus\left(\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left\{ x_{k}\right\} \right)\cup\left\{ x_{i}\right\} ;n\in\mathbb{N}\right\} \)とする。
そうすれば、\(x_{i}\)の近傍系を\(\mathcal{V}_{i}\)とすると、任意の\(V_{i}\in\mathcal{V}_{i}\)に対し、ある\(B_{i}\in\mathcal{B}_{i}\)が存在し\(B_{i}\subseteq V_{i}\)となるので基本近傍系である。
従って\(\mathcal{B}_{i}\)は基本近傍系であり\(\left|\mathcal{B}_{i}\right|=\aleph_{0}\leq\aleph_{0}\)なので第1可算となる。

(2)

可算無限集合なので\(X=\left\{ x_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)とでき、開基を\(\mathcal{B}=\left\{ X\setminus\left(\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left\{ x_{k}\right\} \right)\cup\left\{ x_{i}\right\} ;n\in\mathbb{N},i\in\mathbb{N}\right\} \)とする。
そうすれば、\(\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O}_{c}\)であり、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、ある部分集合\(\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \subseteq\mathcal{B}\)が存在し\(O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)とできるので開基である。
従って\(\mathcal{B}\)は開基であり、\(\left|\mathcal{B}\right|=\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}\leq\aleph_{0}\)なので第2可算となる。

(3)

第1可算公理を満たすと仮定する。
このとき、\(x\in X\)を選ぶと、\(x\)を含む高々可算な基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}=\left(B_{x,n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が存在する。
\begin{align*} \bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_{x,n}\setminus\left\{ x\right\} & =\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{x,n}^{c}\right)^{c}\cap\left\{ x\right\} ^{c}\\ & =\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{x,n}^{c}\cup\left\{ x\right\} \right)^{c}\\ & =X\setminus\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{x,n}^{c}\cup\left\{ x\right\} \right)\\ & \ne\emptyset \end{align*} となる。
最後の等号否定\(X\)は非可算無限、\(B_{x,n}^{c}\)は有限ということを使った
これより、\(y\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_{x,n}\setminus\left\{ x\right\} \)がとれて、任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し、\(y\in B_{n}\)となり、\(\left\{ y\right\} \cap B_{n}\ne\emptyset\)なので\(B_{n}\nsubseteq\left\{ y\right\} ^{c}=X\setminus\left\{ y\right\} \)となる。
しかし、\(\left\{ y\right\} ^{c}\)は\(x\)を含む開集合であるので近傍であるが、基本近傍系の定義よりある\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(B_{n}\subseteq\left\{ y\right\} ^{c}\)とならなければいけないので矛盾。
従って、第1可算公理を満たすという仮定が間違いで、背理法より第1可算公理を満たさない。

(4)

(3)より、第1可算公理を満たさないので第2可算公理も満たさない。