補有限位相はT1空間となる一番弱い位相
補有限位相はT1空間となる一番弱い位相
補有限位相を\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)とする。
\(T_{1}\)空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)であることと、\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}\)となることは同値である。
補有限位相を\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)とする。
\(T_{1}\)空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)であることと、\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}\)となることは同値である。
\(\Rightarrow\)
\(T_{1}\)空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)であるなら1点集合\(\left\{ a\right\} \subseteq X\)が閉集合であるので、1点集合の有限な和集合である有限部分集合も閉集合となる。有限部分集合が閉集合なのでこれは補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を含んでいるので\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}\)となる。
従って\(T_{1}\)空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)であるなら\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}\)となる。
\(\Leftarrow\)
補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)は\(T_{1}\)空間なので補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を含む開集合全体の集合\(\mathcal{O}\)も\(T_{1}\)空間となる。故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。ページ情報
| タイトル | 補有限位相はT1空間となる一番弱い位相 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ktthyuqm/ |
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実数の補有限位相と分離公理(T1・T2)
補有限位相の定義
\[
\mathcal{O}_{c}=\left\{ A\subseteq X;\left|A^{c}\right|<\infty\right\} \land\left\{ \emptyset\right\}
\]
実数では補有限位相は通常位相より弱い
\[
\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}
\]
実数の補有限位相は弧状連結・連結