補有限位相はT1空間となる一番弱い位相

\(\Rightarrow\)

\(T_{1}\)空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)であるなら1点集合\(\left\{ a\right\} \subseteq X\)が閉集合であるので、1点集合の有限な和集合である有限部分集合も閉集合となる。
有限部分集合が閉集合なのでこれは補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を含んでいるので\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}\)となる。
従って\(T_{1}\)空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)であるなら\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}\)となる。

\(\Leftarrow\)

補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)は\(T_{1}\)空間なので補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を含む開集合全体の集合\(\mathcal{O}\)も\(T_{1}\)空間となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。