T0・T1・T2・T3・T4空間の部分位相

by nomura · 2024年9月23日

T0・T1・T2・T3・T4空間の部分位相

T_{0}, T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}

の部分位相について次が成り立つ。

(1)

位相空間

(X, O)

が

T_{0}

空間であるならば、部分位相

(A, O_{A})

も

T_{0}

空間となる。

(2)

位相空間

(X, O)

が

T_{1}

空間であるならば、部分位相

(A, O_{A})

も

T_{1}

空間となる。

(3)

位相空間

(X, O)

が

T_{2}

空間であるならば、部分位相

(A, O_{A})

も

T_{2}

空間となる。

(4)

位相空間

(X, O)

が

T_{3}

空間であるならば、部分位相

(A, O_{A})

も

T_{3}

空間となる。

(5)

位相空間

(X, O)

が

T_{4}

空間であっても、部分位相

(A, O_{A})

は

T_{4}

空間とは限らない。
また、開部分位相であっても閉部分位相であっても

T_{4}

空間とは限らない。

(1)

T_{2}

空間ならば

T_{0}

空間であり、

T_{2}

空間で成り立つので

T_{0}

空間でも成り立つ。

(2)

T_{2}

空間ならば

T_{1}

空間であり、

T_{2}

空間で成り立つので

T_{1}

空間でも成り立つ。

(3)

| A | < 2

のときは

A

から異なる2元がとれないので

T_{2}

空間となる。

2 \leq | A |

とする。
異なる2元

x, y \in A

をとると、

(X, O)

では

T_{2}

空間なのである開集合

O_{1}, O_{2} \in O

が存在し、

x \in O_{1}, y \in O_{2}, O_{1} \cap O_{2} = \emptyset

を満たす。
このとき、

O_{A, 1} = A \cap O_{1}, O_{A, 2} = A \cap O_{2}

は

O_{A}

での開集合となり、

(x \in O_{1} \land x \in A) \Rightarrow x \in O_{1} \cap A \Leftrightarrow x \in O_{A, 1}

となり同様に

y \in O_{A, 2}

、また

O_{1} \cap O_{2} = \emptyset \Rightarrow A \cap (O_{1} \cap O_{2}) = \emptyset \Leftrightarrow (A \cap O_{1}) \cap (A \cap O_{2}) = \emptyset \Leftrightarrow O_{A, 1} \cap O_{A, 2} = \emptyset

となる。
従って、開集合

O_{A, 1}, O_{A, 2}

は

x \in O_{A, 1}, y \in O_{A, 2}, O_{A, 1} \cap O_{A, 2} = \emptyset

を満たすので

(A, O_{A})

は

T_{2}

空間となる。
これらより、

| A | < 2

のときも

2 \leq | A |

のときも

(A, O_{A})

は

T_{2}

空間となるので、任意の部分集合

A

に対し

(A, O_{A})

は

T_{2}

空間となる。

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(4)

A = \emptyset

のときは

A

から元がとれないので

T_{3}

空間となる。

A \neq \emptyset

とする。
元

x \in A

と

A

の閉集合

F_{A} \subseteq A

をとり

x \notin F_{A}

とすると、

(X, O)

では

T_{3}

空間なのである開集合

O_{1}, O_{2} \in O

が存在し、

x \in O_{1}, F \subseteq O_{2}, O_{1} \cap O_{2} = \emptyset

を満たす。
このとき、

O_{A, 1} = A \cap O_{1}, O_{A, 2} = A \cap O_{2}

は

O_{A}

での開集合となり、

(x \in O_{1} \land x \in A) \Rightarrow x \in O_{1} \cap A \Leftrightarrow x \in O_{A, 1}

となり同様に

F \subseteq O_{2} \land F_{A} \subseteq A \Rightarrow F \subseteq (O_{2} \cap A) \Leftrightarrow F \subseteq O_{A, 2}

、また

O_{1} \cap O_{2} = \emptyset \Rightarrow A \cap (O_{1} \cap O_{2}) = \emptyset \Leftrightarrow (A \cap O_{1}) \cap (A \cap O_{2}) = \emptyset \Leftrightarrow O_{A, 1} \cap O_{A, 2} = \emptyset

となる。
従って、開集合

O_{A, 1}, O_{A, 2}

は

x \in O_{A, 1}, F \subseteq O_{A, 2}, O_{A, 1} \cap O_{A, 2} = \emptyset

を満たすので

(A, O_{A})

は

T_{3}

空間となる。
これらより、

A = \emptyset

のときも

A \neq \emptyset

のときも

(A, O_{A})

は

T_{3}

空間となるので、任意の部分集合

A

に対し

(A, O_{A})

は

T_{3}

空間となる。

(5)

反例で示す。
位相空間

{{a, b, c, d}, {\emptyset, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c, d}}}

を考える。
この位相空間の閉集合族は

{\emptyset, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

である。
この閉集合族は空集合以外全て元

d

を含んでいるので

T_{4}

空間である。
ここで部分集合

{a, b, c} \subseteq {a, b, c, d}

の部分位相は

{{a, b, c}, {\emptyset, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}}

となり、この閉集合族は

{\emptyset, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}

である。
このとき、閉集合

{b}, {c}

は

{b} \cap {c} = \emptyset

であるが開集合で分離することはできないので

T_{4}

空間ではない。
従って

T_{4}

空間の部分位相は

T_{4}

空間とは限らない。

開部分位相と閉部分集合

位相空間

{{a, b, c, d}, {\emptyset, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}, {d}, {a, b, c, d}}}

を考える
この位相空間の閉集合族は

{\emptyset, {d}, {b, d}, {c, d}, {b, c, d}, {a, b, c}, {a, b, c, d}}

である。
この位相空間の交わらない閉集合は空集合を除くと

{a, b, c} \cap {d} = \emptyset

しかなく、これは開集合で分離できるので

T_{4}

空間である。
しかし、部分集合

{a, b, c} \subseteq {a, b, c, d}

は開集合でもあり閉集合でもあり、この部分位相は

{{a, b, c}, {\emptyset, {a}, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}}}

であり、閉集合族は

{\emptyset, {b}, {c}, {b, c}, {a, b, c}}

である。
この部分位相の交わらない閉集合は空集合を除くと

{b} \cap {c} = \emptyset

しかなく、これは開集合で分離できないので

T_{4}

空間でない。
従って、

T_{4}

空間の開部分位相も閉部分位相も

T_{4}

空間とは限らない。

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タイトル	T0・T1・T2・T3・T4空間の部分位相
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