(1)

\(\Rightarrow\)

任意の\(x\in X\)、元\(x\)を含む任意の開集合\(U_{x}\)をとると、\(U_{x}^{c}\)は\(x\)を含まない閉集合になり、条件より\(T_{3}\)空間なのである開集合\(V_{x},W\)が存在し、\(x\in V_{x},U_{x}^{c}\subseteq W,V_{x}\cap W=\emptyset\)となる。
これより、\(x\in V_{x},W^{c}\subseteq U_{x},V\subseteq W^{c}\)となるので\(x\in V_{x}\subseteq W^{c}\subseteq U_{x}\)となり、\(W^{c}\)は閉集合なので\(x\in V_{x}\subseteq V_{x}^{a}\subseteq W^{c}\subseteq U_{x}\)となる。
従って\(x\in V_{x}\subseteq V_{x}^{a}\subseteq U_{x}\)となり\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

任意の\(x\in X\)、元\(x\)を含まない任意の閉集合を\(F\)とする。
このとき\(F^{c}\)は\(x\)を含む開集合となり、条件より、ある開集合\(V\)が存在し、\(x\in V\subseteq V^{a}\subseteq F^{c}\)となる。
これより、\(x\in V,F\subseteq V^{ac}\)となり\(V\cap V^{ac}\subseteq V^{a}\cap V^{ac}=\emptyset\)より、\(U=V^{ac}\)とおくと\(U\)は開集合となり、\(x\in V,F\subseteq U,V\cap U=\emptyset\)となるので\(T_{3}\)空間となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

(1)で元\(x\)を閉集合\(F\)に置き換えればよい。