3角関数の関数の定積分
3角関数の関数の定積分
次の定積分が成り立つ。
次の定積分が成り立つ。
(1)
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \](2)
\[ \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \](1)
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx\\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin\left(\pi-x\right)\right)dx\cmt{x\rightarrow\pi-x}\\ & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin x\right)dx\\ & =\pi\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx-\int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx\\ & =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角関数の関数の定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hotxaiee/ |
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逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]
ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
ルートの中に2乗を含む積分
\[
\int f\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)dx=a\int f\left(a\cos t\right)\cos tdt\cnd{x=a\sin t}
\]