アーベルの級数変形法とアーベルの総和公式
アーベルの級数変形法とアーベルの総和公式
数列の総和について次が成り立つ。
\[ \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}-\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}\left(b_{k+1}-b_{k}\right) \] が成り立つ。
これをアーベルの級数変形法という。
\[ \sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(k\right)=A\left(y\right)b\left(y\right)-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt \] が成り立つ。
これをアーベルの総和公式という。
数列の総和について次が成り立つ。
(1)アーベルの級数変形法
数列\(a_{n},b_{n}\)があり、\(A_{k}=\sum_{j=1}^{k}a_{j}\)とするとき、\[ \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=A_{n}b_{n}-\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}\left(b_{k+1}-b_{k}\right) \] が成り立つ。
これをアーベルの級数変形法という。
(2)アーベルの総和公式
数列\(a_{n}\)と関数\(b\left(x\right)\)があり、\(A\left(x\right)=\sum_{j=1}^{\left\lfloor x\right\rfloor }a_{j}\)とするとき、\[ \sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(k\right)=A\left(y\right)b\left(y\right)-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt \] が成り立つ。
これをアーベルの総和公式という。
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アーベルの総和公式を確認してみる。\(a_{n}=1,b\left(x\right)=\frac{1}{x^{s}}\)とする。
\(1\leq x\)のとき、
\begin{align*} A\left(x\right) & =\sum_{j=1}^{\left\lfloor x\right\rfloor }a_{j}\\ & =\sum_{j=1}^{\left\lfloor x\right\rfloor }1\\ & =\left\lfloor x\right\rfloor \end{align*} となるので、
\begin{align*} A\left(m\right)b\left(m\right)-\int_{1}^{m}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt & =\frac{\left\lfloor m\right\rfloor }{m^{s}}+\int_{1}^{m}\left\lfloor t\right\rfloor \frac{s}{t^{s+1}}dt\\ & =\frac{m}{m^{s}}+\sum_{k=1}^{m-1}\int_{k}^{k+1}k\frac{s}{t^{s+1}}dt\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}+\sum_{k=1}^{m-1}ks\int_{k}^{k+1}\frac{1}{t^{s+1}}dt\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}+\sum_{k=1}^{m-1}ks\left[\frac{-1}{st^{s}}\right]_{k}^{k+1}\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum_{k=1}^{m-1}k\left[\frac{1}{t^{s}}\right]_{k}^{k+1}\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum_{k=1}^{m-1}k\left(\frac{1}{\left(k+1\right)^{s}}-\frac{1}{k^{s}}\right)\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{k}{\left(k+1\right)^{s}}-\frac{1}{k^{s-1}}\right)\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{k+1}{\left(k+1\right)^{s}}-\frac{1}{\left(k+1\right)^{s}}-\frac{1}{k^{s-1}}\right)\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum_{k=1}^{m-1}\left(\frac{1}{\left(k+1\right)^{s-1}}-\frac{1}{k^{s-1}}-\frac{1}{\left(k+1\right)^{s}}\right)\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\left(\frac{1}{m^{s-1}}-1-\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{\left(k+1\right)^{s}}\right)\\ & =1+\sum_{k=2}^{m}\frac{1}{k^{s}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{k^{s}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}a_{k}b\left(k\right) \end{align*} となるので、アーベルの総和公式が成り立っているのがわかる。
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\(a_{n}=1,b\left(t\right)=\frac{1}{t}\)とおくと、\(A\left(x\right)=\sum_{j=1}^{\left\lfloor x\right\rfloor }a_{j}=\left\lfloor x\right\rfloor \)なので、\begin{align*} \sum_{k=1}^{x}\frac{1}{k} & =A\left(x\right)b\left(x\right)-\int_{1}^{x}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt\\ & =\frac{\left\lfloor x\right\rfloor }{x}+\int_{1}^{x}\frac{\left\lfloor t\right\rfloor }{t^{2}}dt\\ & =\frac{\left\lfloor x\right\rfloor }{x}-\int_{1}^{x}\left(\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor }{t^{2}}-\frac{1}{t}\right)dt\\ & =1-\frac{x-\left\lfloor x\right\rfloor }{x}+\log x-\int_{1}^{x}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt\\ & =1-\frac{\left\{ x\right\} }{x}+\log x-\int_{1}^{x}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt\\ & =1-\frac{\left\{ x\right\} }{x}+\log x-\int_{1}^{\infty}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt+\int_{x}^{\infty}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt\\ & =\log x+1-\int_{1}^{\infty}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt+\int_{x}^{\infty}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt\\ & =\log x+\gamma+O\left(\frac{1}{x}\right)\cmt{\gamma=1-\int_{1}^{\infty}\left(\frac{\left\{ t\right\} }{t^{2}}\right)dt} \end{align*} となる。
ここで\(\gamma\)はオイラー・マスケローニ定数である。
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\(a_{n}=1,b\left(t\right)=\log t\)とおくと、\(A\left(x\right)=\sum_{j=1}^{\left\lfloor x\right\rfloor }a_{j}=\left\lfloor x\right\rfloor \)なので、\begin{align*} \sum_{k=1}^{x}\log k & =A\left(x\right)b\left(x\right)-\int_{1}^{x}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt\\ & =\left\lfloor x\right\rfloor \log x-\int_{1}^{x}\frac{\left\lfloor t\right\rfloor }{t}dt\\ & =\left(x-\left\{ x\right\} \right)\log x-\int_{1}^{x}\left(\frac{t-\left\{ t\right\} }{t}\right)dt\\ & =\left(x-\left\{ x\right\} \right)\log x-\left[t\right]_{1}^{x}+\int_{1}^{x}\frac{\left\{ t\right\} }{t}dt\\ & =x\log x-x+1-\left\{ x\right\} \log x+\int_{1}^{x}\frac{\left\{ t\right\} }{t}dt\\ & =x\log x-x+1+O\left(\log x\right) \end{align*} となる。
次も成り立つ。
\begin{align*} \sum_{x<k\leq y}a_{k}b\left(k\right) & =\sum_{x<k\leq y}a_{k}\int_{x}^{y}\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{x<k\leq y}a_{k}\int_{x+\delta}^{y+\delta}\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{x<k\leq y}a_{k}\left(\left[H\left(t-k\right)b\left(t\right)\right]_{x+\delta}^{y+\delta}-\int_{x+\delta}^{y+\delta}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{x<k\leq y}a_{k}\left\{ H\left(y+\delta-k\right)b\left(y+\delta\right)-H\left(x+\delta-k\right)b\left(x-\delta\right)-\int_{x+\delta}^{y+\delta}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\right\} \\ & =\sum_{x<k\leq y}a_{k}b\left(y\right)-\sum_{x<k\leq y}a_{k}b\left(x\right)\delta_{k,\left\lceil x\right\rceil }-\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_{x+\delta}^{y+\delta}\sum_{x<k\leq y}a_{k}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\\ & =A\left(y\right)b\left(y\right)-a_{x}b\left(x\right)\delta_{x,\left\lceil x\right\rceil }-\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_{x-\delta}^{y+\delta}\sum_{x<k\leq y}a_{k}b'\left(t\right)dt\\ & =A\left(y\right)b\left(y\right)-a_{x}b\left(x\right)\delta_{x,\left\lceil x\right\rceil }-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt \end{align*}
\begin{align*} \sum_{x<k\leq y}a_{k}b\left(k\right) & =\sum_{x<k\leq y}a_{k}\int_{x}^{y}\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{x<k\leq y}a_{k}\int_{x+\delta}^{y+\delta}\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{x<k\leq y}a_{k}\left(\left[H\left(t-k\right)b\left(t\right)\right]_{x+\delta}^{y+\delta}-\int_{x+\delta}^{y+\delta}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{x<k\leq y}a_{k}\left\{ H\left(y+\delta-k\right)b\left(y+\delta\right)-H\left(x+\delta-k\right)b\left(x-\delta\right)-\int_{x+\delta}^{y+\delta}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\right\} \\ & =\sum_{x<k\leq y}a_{k}b\left(y\right)-\sum_{x<k\leq y}a_{k}b\left(x\right)\delta_{k,\left\lceil x\right\rceil }-\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_{x+\delta}^{y+\delta}\sum_{x<k\leq y}a_{k}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\\ & =A\left(y\right)b\left(y\right)-a_{x}b\left(x\right)\delta_{x,\left\lceil x\right\rceil }-\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_{x-\delta}^{y+\delta}\sum_{x<k\leq y}a_{k}b'\left(t\right)dt\\ & =A\left(y\right)b\left(y\right)-a_{x}b\left(x\right)\delta_{x,\left\lceil x\right\rceil }-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt \end{align*}
(1)
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k} & =\sum_{k=1}^{n}\left(A_{k}-A_{k-1}\right)b_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum_{k=1}^{n}A_{k-1}b_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}A_{k}b_{k}-\sum_{k=0}^{n-1}A_{k}b_{k+1}\\ & =A_{n}b_{n}-A_{0}b_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}b_{k+1}\\ & =A_{n}b_{n}-\sum_{k=1}^{n-1}A_{k}\left(b_{k+1}-b_{k}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(k\right) & =\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}\int_{\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}\int_{x}^{y}\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}\int_{x-\delta}^{y+\delta}\delta\left(t-k\right)b\left(t\right)dt\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}\left(\left[H\left(t-k\right)b\left(t\right)\right]_{x-\delta}^{y+\delta}-\int_{x-\delta}^{y+\delta}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\right)\\ & =\lim_{\delta\rightarrow+0}\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}\left\{ H\left(y+\delta-k\right)b\left(y+\delta\right)-H\left(x-\delta-k\right)b\left(x-\delta\right)-\int_{x-\delta}^{y+\delta}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\right\} \\ & =\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(y\right)-\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_{x-\delta}^{y+\delta}\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}H\left(t-k\right)b'\left(t\right)dt\\ & =A\left(y\right)b\left(y\right)-\lim_{\delta\rightarrow+0}\int_{x-\delta}^{y+\delta}\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor t\right\rfloor }a_{k}b'\left(t\right)dt\\ & =A\left(y\right)b\left(y\right)-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt \end{align*}ページ情報
| タイトル | アーベルの級数変形法とアーベルの総和公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/sm6kamk3/ |
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分母と分子交互に根号の総乗
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt[2k-1]{\alpha}}{\sqrt[2k]{\alpha}}=2^{\Log\alpha}
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
\[
\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}=\frac{b-a+1}{2}
\]
総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)
\]