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アーベルの総和公式を確認してみる。
$a_n=1,b\left(x\right)=\frac{1}{x^s}$とする。
$1\le x$のとき、
$$\begin{array}{rl}A\left(x\right)& =\sum _{j=1}^{\lfloor x\rfloor }{a}_j\\ & =\sum _{j=1}^{\lfloor x\rfloor }1\\ & =\lfloor x\rfloor \end{array}$$ となるので、
$$\begin{array}{rl}A\left(m\right)b\left(m\right)-{\int }_1^{m}A\left(t\right)b^{\prime }\left(t\right)dt& =\frac{\lfloor m\rfloor }{m^s}+{\int }_1^m\lfloor t\rfloor \frac{s}{t^{s+1}}dt\\ & =\frac{m}{m^s}+\sum _{k=1}^{m-1}{\int }_k^{k+1}k\frac{s}{t^{s+1}}dt\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}+\sum _{k=1}^{m-1}ks{\int }_k^{k+1}\frac{1}{t^{s+1}}dt\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}+\sum _{k=1}^{m-1}ks{\left[\frac{-1}{s{t}^s}\right]}_k^{k+1}\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum _{k=1}^{m-1}k{\left[\frac{1}{t^s}\right]}_k^{k+1}\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum _{k=1}^{m-1}k(\frac{1}{{(k+1)}^s}-\frac{1}{k^s})\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum _{k=1}^{m-1}(\frac{k}{{(k+1)}^s}-\frac{1}{k^{s-1}})\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum _{k=1}^{m-1}(\frac{k+1}{{(k+1)}^s}-\frac{1}{{(k+1)}^s}-\frac{1}{k^{s-1}})\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-\sum _{k=1}^{m-1}(\frac{1}{{(k+1)}^{s-1}}-\frac{1}{k^{s-1}}-\frac{1}{{(k+1)}^s})\\ & =\frac{1}{m^{s-1}}-(\frac{1}{m^{s-1}}-1-\sum _{k=1}^{m-1}\frac{1}{{(k+1)}^s})\\ & =1+\sum _{k=2}^m\frac{1}{k^s}\\ & =\sum _{k=1}^m\frac{1}{k^s}\\ & =\sum _{k=1}^m{a}_{k}b\left(k\right)\end{array}$$ となるので、アーベルの総和公式が成り立っているのがわかる。

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$a_n=1,b\left(t\right)=\frac{1}{t}$とおくと、$A\left(x\right)=\sum _{j=1}^{\lfloor x\rfloor }{a}_j=\lfloor x\rfloor$なので、
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^x\frac{1}{k}& =A\left(x\right)b\left(x\right)-{\int }_1^{x}A\left(t\right)b^{\prime }\left(t\right)dt\\ & =\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+{\int }_1^x\frac{\lfloor t\rfloor }{t^2}dt\\ & =\frac{\lfloor x\rfloor }{x}-{\int }_1^x(\frac{t-\lfloor t\rfloor }{t^2}-\frac{1}{t})dt\\ & =1-\frac{x-\lfloor x\rfloor }{x}+\log x-{\int }_1^x\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt\\ & =1-\frac{\left\{x\right\}}{x}+\log x-{\int }_1^x\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt\\ & =1-\frac{\left\{x\right\}}{x}+\log x-{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt\\ & =\log x+1-{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt\\ & =\log x+\gamma +O\left(\frac{1}{x}\right)(\gamma =1-{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{\left\{t\right\}}{t^2}\right)dt)\end{array}$$ となる。
ここで$\gamma$はオイラー・マスケローニ定数である。

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$a_n=1,b\left(t\right)=\log t$とおくと、$A\left(x\right)=\sum _{j=1}^{\lfloor x\rfloor }{a}_j=\lfloor x\rfloor$なので、
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^x\log k& =A\left(x\right)b\left(x\right)-{\int }_1^{x}A\left(t\right)b^{\prime }\left(t\right)dt\\ & =\lfloor x\rfloor \log x-{\int }_1^x\frac{\lfloor t\rfloor }{t}dt\\ & =(x-\left\{x\right\})\log x-{\int }_1^x\left(\frac{t-\left\{t\right\}}{t}\right)dt\\ & =(x-\left\{x\right\})\log x-{\left[t\right]}_1^x+{\int }_1^x\frac{\left\{t\right\}}{t}dt\\ & =x\log x-x+1-\left\{x\right\}\log x+{\int }_1^x\frac{\left\{t\right\}}{t}dt\\ & =x\log x-x+1+O(\log x)\end{array}$$ となる。