リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)をローラン展開したときの係数は次のようになる。
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] \[ \gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right) \] ここで\(\gamma_{k}\)はスティルチェス定数という。
\(\gamma_{0}=\gamma\)でオイラー・マスケローニ定数である。
\[ \zeta\left(s,a\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(a\right)\left(s-1\right)^{k} \] ここで\(\gamma_{k}\left(a\right)\)は一般化スティルチェス定数という。
ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ函数\(\zeta\left(s,a\right)\)には\(\zeta\left(s\right)=\zeta\left(s,1\right)\)の関係があるのでスティルチェス定数と一般化スティルチェス定数には\(\gamma_{n}\left(1\right)=\gamma_{n}\)の関係がある。
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)をローラン展開したときの係数は次のようになる。
(1)スティルチェス定数
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)を\(s=1\)周りでローラン展開すると次のようになる。\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] \[ \gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right) \] ここで\(\gamma_{k}\)はスティルチェス定数という。
\(\gamma_{0}=\gamma\)でオイラー・マスケローニ定数である。
(2)一般化スティルチェス定数
フルヴィッツ・ゼータ関数\(\zeta\left(s,a\right)\)を\(s=1\)周りでローラン展開すると次のようになる。\[ \zeta\left(s,a\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(a\right)\left(s-1\right)^{k} \] ここで\(\gamma_{k}\left(a\right)\)は一般化スティルチェス定数という。
ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ函数\(\zeta\left(s,a\right)\)には\(\zeta\left(s\right)=\zeta\left(s,1\right)\)の関係があるのでスティルチェス定数と一般化スティルチェス定数には\(\gamma_{n}\left(1\right)=\gamma_{n}\)の関係がある。
スティルチェス定数一覧
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \gamma_{n}\\ \hline 0 & 5.772156649\times10^{-1}\\ \hline 1 & -7.281584548\times10^{-2}\\ \hline 2 & -9.690363193\times10^{-3}\\ \hline 3 & 2.05383442\times10^{-3}\\ \hline 4 & 2.325370065\times10^{-3}\\ \hline 5 & 7.933238173\times10^{-4}\\ \hline 6 & -2.387693454\times10^{-4}\\ \hline 7 & -5.272895671\times10^{-4}\\ \hline 8 & -3.521233538\times10^{-4}\\ \hline 9 & -3.439477442\times10^{-5}\\ \hline 10 & 2.053328149\times10^{-4}\\ \hline 11 & 2.701844395\times10^{-4}\\ \hline 12 & 1.672729121\times10^{-4}\\ \hline 13 & -2.74638066\times10^{-5}\\ \hline 14 & -2.092092621\times10^{-4}\\ \hline 15 & -2.834686553\times10^{-4}\\ \hline 16 & -1.996968583\times10^{-4}\\ \hline 17 & 2.627703711\times10^{-5}\\ \hline 18 & 3.073684081\times10^{-4}\\ \hline 19 & 5.03605453\times10^{-4}\\ \hline 20 & 4.663435615\times10^{-4}\\ \hline 21 & 1.044377698\times10^{-4}\\ \hline 22 & -5.415995822\times10^{-4}\\ \hline 23 & -1.24396209\times10^{-3}\\ \hline 24 & -1.588511279\times10^{-3}\\ \hline 25 & -1.074591953\times10^{-3}\\ \hline 26 & 6.568035186\times10^{-4}\\ \hline 27 & 3.477836914\times10^{-3}\\ \hline 28 & 6.400068532\times10^{-3}\\ \hline 29 & 7.37115177\times10^{-3}\\ \hline 30 & 3.557728855\times10^{-3}\\ \hline 10^{2} & -4.253401572\times10^{17}\\ \hline 10^{3} & -1.570953844\times10^{486}\\ \hline 10^{4} & -2.210497057\times10^{6883}\\ \hline 10^{5} & 1.991927306\times10^{83432} \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \gamma_{n}\\ \hline 0 & 5.772156649\times10^{-1}\\ \hline 1 & -7.281584548\times10^{-2}\\ \hline 2 & -9.690363193\times10^{-3}\\ \hline 3 & 2.05383442\times10^{-3}\\ \hline 4 & 2.325370065\times10^{-3}\\ \hline 5 & 7.933238173\times10^{-4}\\ \hline 6 & -2.387693454\times10^{-4}\\ \hline 7 & -5.272895671\times10^{-4}\\ \hline 8 & -3.521233538\times10^{-4}\\ \hline 9 & -3.439477442\times10^{-5}\\ \hline 10 & 2.053328149\times10^{-4}\\ \hline 11 & 2.701844395\times10^{-4}\\ \hline 12 & 1.672729121\times10^{-4}\\ \hline 13 & -2.74638066\times10^{-5}\\ \hline 14 & -2.092092621\times10^{-4}\\ \hline 15 & -2.834686553\times10^{-4}\\ \hline 16 & -1.996968583\times10^{-4}\\ \hline 17 & 2.627703711\times10^{-5}\\ \hline 18 & 3.073684081\times10^{-4}\\ \hline 19 & 5.03605453\times10^{-4}\\ \hline 20 & 4.663435615\times10^{-4}\\ \hline 21 & 1.044377698\times10^{-4}\\ \hline 22 & -5.415995822\times10^{-4}\\ \hline 23 & -1.24396209\times10^{-3}\\ \hline 24 & -1.588511279\times10^{-3}\\ \hline 25 & -1.074591953\times10^{-3}\\ \hline 26 & 6.568035186\times10^{-4}\\ \hline 27 & 3.477836914\times10^{-3}\\ \hline 28 & 6.400068532\times10^{-3}\\ \hline 29 & 7.37115177\times10^{-3}\\ \hline 30 & 3.557728855\times10^{-3}\\ \hline 10^{2} & -4.253401572\times10^{17}\\ \hline 10^{3} & -1.570953844\times10^{486}\\ \hline 10^{4} & -2.210497057\times10^{6883}\\ \hline 10^{5} & 1.991927306\times10^{83432} \\\hline \end{array} \]
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)は\(s=1\)で1位の極をもち、留数は1であるので、
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] と表すことができる。
これより、移項すると、
\[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}=\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1} \] となるので、
\begin{align*} \gamma_{n} & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}\right)\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}-\frac{1}{s-1}\right)\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}k^{-s}\log^{n}k-\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(s-1\right)^{n+1}}\right]_{s=1}\\ & =\left[\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\log^{n}k-\frac{1}{\left(s-1\right)^{n+1}}\right]_{s=1} \end{align*} となる。
\begin{align*} \gamma_{n} & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\frac{d^{n+1}}{ds^{n+1}}\left(s-1\right)\left(\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\frac{d^{n+1}}{ds^{n+1}}\left(s-1\right)\zeta\left(s\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\zeta^{\left(n+1\right)}\left(s\right)+C\left(n+1,1\right)\left(s-1\right)'\zeta^{\left(n\right)}\left(s\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\zeta^{\left(n+1\right)}\left(s\right)+\left(n+1\right)\zeta^{\left(n\right)}\left(s\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\frac{d^{n+1}}{ds^{n+1}}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}+\left(n+1\right)\frac{d^{n}}{ds^{n}}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}k^{-s}\log^{n+1}k+\left(n+1\right)\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}k^{-s}\log^{n}k\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\left[\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\log^{n}k-\frac{s-1}{n+1}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\log^{n+1}k\right]_{s\rightarrow1} \end{align*} となる。
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] と表すことができる。
これより、移項すると、
\[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}=\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1} \] となるので、
\begin{align*} \gamma_{n} & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}\right)\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}-\frac{1}{s-1}\right)\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}k^{-s}\log^{n}k-\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(s-1\right)^{n+1}}\right]_{s=1}\\ & =\left[\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\log^{n}k-\frac{1}{\left(s-1\right)^{n+1}}\right]_{s=1} \end{align*} となる。
-
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] より、\begin{align*} \gamma_{n} & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\frac{d^{n+1}}{ds^{n+1}}\left(s-1\right)\left(\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\frac{d^{n+1}}{ds^{n+1}}\left(s-1\right)\zeta\left(s\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\zeta^{\left(n+1\right)}\left(s\right)+C\left(n+1,1\right)\left(s-1\right)'\zeta^{\left(n\right)}\left(s\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\zeta^{\left(n+1\right)}\left(s\right)+\left(n+1\right)\zeta^{\left(n\right)}\left(s\right)\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\frac{d^{n+1}}{ds^{n+1}}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}+\left(n+1\right)\frac{d^{n}}{ds^{n}}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\frac{\left(-1\right)^{n}}{n+1}\left[\left(s-1\right)\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n+1}k^{-s}\log^{n+1}k+\left(n+1\right)\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{n}k^{-s}\log^{n}k\right]_{s\rightarrow1}\\ & =\left[\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\log^{n}k-\frac{s-1}{n+1}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\log^{n+1}k\right]_{s\rightarrow1} \end{align*} となる。
リーマン・ゼータ関数\(\zeta\left(s\right)\)は、
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{s-1}-s\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx \] と表され、ローラン展開した形より、
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] となる。
これより、
\begin{align*} \gamma_{n} & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}\right)\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\frac{1}{2}-s\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right)\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}+\left(-1\right)^{n+1}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}s\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left(-1\right)^{n}\left[s\frac{d^{n}}{ds^{n}}\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx+C\left(n,1\right)\frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left(-1\right)^{n}\left[\left(-1\right)^{n}s\int_{1}^{\infty}\log^{n}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx+\left(-1\right)^{n-1}n\int_{1}^{\infty}\log^{n-1}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[s\int_{1}^{\infty}\log^{n}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx-n\int_{1}^{\infty}\log^{n-1}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\int_{1}^{\infty}\log^{n}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-2}dx+n\int_{1}^{\infty}\log^{n-1}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-2}dx\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x}dx+\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}\right)\left\lfloor x\right\rfloor \frac{1}{x^{2}}dx\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x}dx+\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x^{2}}dx+\sum_{k=1}^{\infty}k\int_{k}^{k+1}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}\right)\frac{1}{x^{2}}dx\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left(y^{n}-ny^{n-1}\right)e^{-y}dy+\sum_{k=1}^{\infty}k\int_{\log k}^{\log\left(k+1\right)}\left(y^{n}-ny^{n-1}\right)e^{-y}dy\cmt{\log x=y}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{2}\left(\Gamma\left(n+1\right)-n\Gamma\left(n\right)\right)+\sum_{k=1}^{\infty}k\left[\gamma\left(n+1,y\right)-n\gamma\left(n,y\right)\right]_{y=\log k}^{y=\log\left(k+1\right)}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{2}\left(\Gamma\left(n+1\right)-\Gamma\left(n+1\right)+\delta_{0,n}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}k\left[-y^{n}e^{-y}\right]_{y=\log k}^{y=\log\left(k+1\right)}\cmt{\because\gamma\left(a+1,x\right)-a\gamma\left(a,x\right)=-x^{a}e^{-x}}\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\sum_{k=1}^{\infty}k\left[-\log^{n}xe^{-\log x}\right]_{x=k}^{x=k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}k\left[\frac{\log^{n}x}{x}\right]_{x=k}^{x=k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}-\frac{\log^{n}k}{k}\right)\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{\left(k+1\right)\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}-\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}-\log^{n}k\right)\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\log^{n}\left(k+1\right)-\log^{n}k\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{\log^{n+1}m}{n+1}-\log^{n}m\right)+\left(\frac{\delta_{0,n+1}}{n+1}-\delta_{0,n}\right)-\left(\lim_{m\rightarrow\infty}\log^{n}m-\delta_{0,n}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{\log^{n+1}m}{n+1}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}\\ & =\left[\frac{\log^{n}k}{k}\right]_{k=1}+\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=2}^{m}\frac{\log^{n}k}{k}-\frac{\log^{n+1}m}{n+1}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{m}\frac{\log^{n}k}{k}-\frac{\log^{n+1}m}{n+1}\right) \end{align*}
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{s-1}-s\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx \] と表され、ローラン展開した形より、
\[ \zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k} \] となる。
これより、
\begin{align*} \gamma_{n} & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{k!}\gamma_{k}\left(s-1\right)^{k}\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}\right)\right]_{s=1}\\ & =\left(-1\right)^{n}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}\left(\frac{1}{2}-s\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right)\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}+\left(-1\right)^{n+1}\left[\frac{d^{n}}{ds^{n}}s\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left(-1\right)^{n}\left[s\frac{d^{n}}{ds^{n}}\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx+C\left(n,1\right)\frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}}\int_{1}^{\infty}\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left(-1\right)^{n}\left[\left(-1\right)^{n}s\int_{1}^{\infty}\log^{n}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx+\left(-1\right)^{n-1}n\int_{1}^{\infty}\log^{n-1}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[s\int_{1}^{\infty}\log^{n}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx-n\int_{1}^{\infty}\log^{n-1}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-s-1}dx\right]_{s=1}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\int_{1}^{\infty}\log^{n}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-2}dx+n\int_{1}^{\infty}\log^{n-1}x\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor -\frac{1}{2}\right)x^{-2}dx\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x}dx+\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}\right)\left\lfloor x\right\rfloor \frac{1}{x^{2}}dx\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x}dx+\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}x\right)\frac{1}{x^{2}}dx+\sum_{k=1}^{\infty}k\int_{k}^{k+1}\left(\log^{n}x-n\log^{n-1}\right)\frac{1}{x^{2}}dx\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\left(y^{n}-ny^{n-1}\right)e^{-y}dy+\sum_{k=1}^{\infty}k\int_{\log k}^{\log\left(k+1\right)}\left(y^{n}-ny^{n-1}\right)e^{-y}dy\cmt{\log x=y}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{2}\left(\Gamma\left(n+1\right)-n\Gamma\left(n\right)\right)+\sum_{k=1}^{\infty}k\left[\gamma\left(n+1,y\right)-n\gamma\left(n,y\right)\right]_{y=\log k}^{y=\log\left(k+1\right)}\\ & =\frac{\delta_{0,n}}{2}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\frac{1}{2}\left(\Gamma\left(n+1\right)-\Gamma\left(n+1\right)+\delta_{0,n}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}k\left[-y^{n}e^{-y}\right]_{y=\log k}^{y=\log\left(k+1\right)}\cmt{\because\gamma\left(a+1,x\right)-a\gamma\left(a,x\right)=-x^{a}e^{-x}}\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}+\sum_{k=1}^{\infty}k\left[-\log^{n}xe^{-\log x}\right]_{x=k}^{x=k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}k\left[\frac{\log^{n}x}{x}\right]_{x=k}^{x=k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}k\left(\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}-\frac{\log^{n}k}{k}\right)\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{\left(k+1\right)\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}-\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}-\log^{n}k\right)\\ & =\delta_{0,n}-\left[\frac{\log^{n+1}x}{n+1}-\log^{n}x\right]_{1}^{\infty}-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\log^{n}\left(k+1\right)-\log^{n}k\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{\log^{n+1}m}{n+1}-\log^{n}m\right)+\left(\frac{\delta_{0,n+1}}{n+1}-\delta_{0,n}\right)-\left(\lim_{m\rightarrow\infty}\log^{n}m-\delta_{0,n}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}\\ & =\delta_{0,n}-\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\frac{\log^{n+1}m}{n+1}\right)+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log^{n}\left(k+1\right)}{k+1}\\ & =\left[\frac{\log^{n}k}{k}\right]_{k=1}+\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=2}^{m}\frac{\log^{n}k}{k}-\frac{\log^{n+1}m}{n+1}\right)\\ & =\lim_{m\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^{m}\frac{\log^{n}k}{k}-\frac{\log^{n+1}m}{n+1}\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数) |
| URL | https://www.nomuramath.com/gu1zzm1s/ |
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すべての自然数の積(解析接続あり)
\[
\prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi}
\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]